Considere um escoamento radial e unidimensional no plano
caracterizado por
e
. Determine as condições sobre
) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp.
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um escoamento radial e unidimensional no plano $ r\varphi $, onde a velocidade radial $ v_r $ depende apenas da posição $ r $ e a velocidade angular $ v_\varphi $ é zero. O que precisamos descobrir são as condições que a função $ v_r® $ deve satisfazer para que esse escoamento seja considerado incompressível. Para isso, vamos precisar lembrar como verificar a incompressibilidade em um fluxo e aplicar isso ao contexto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um fluxo incompressível. Em termos simples, um fluxo é incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo, ou seja, não há variação de densidade no escoamento. Matematicamente, isso se traduz na divergência do campo de velocidade sendo igual a zero:
No nosso caso, como o fluxo é radial e unidimensional, só precisamos considerar a componente radial da velocidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo de velocidade para o escoamento dado. Em coordenadas polares $ (r, \varphi) $, a divergência de um campo de velocidade $ \mathbf{v} = v_r® \hat{r} + v_\varphi \hat{\varphi} $ é dada por:
Mas, como $ v_\varphi = 0 $, o segundo termo desaparece, ficando:
Passo 4
Para que o fluxo seja incompressível, temos que a divergência seja zero:
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
Isso significa que $ r v_r $ é constante. Vamos chamar essa constante de $ C $:
Finalmente, isolando $ v_r $:
Resposta
As condições necessárias para que o escoamento seja incompressível são que:
onde $ C $ é uma constante.
Exercícios relacionados
Para um escoamento incompressível no plano
, a componente
da velocidade é dada por
Asen
. Determine uma possível componente
da velocidade. Quantas possíveis componentes
existem? Resp.:
Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como dispositivo pistão-cilindro. No instante em que o pistão está em
afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme em
, e o pistão começa a se mover afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com
. A velocidade do gás é unidimensional e é proporcional à distância em relação à extremidade fechada, varia linearmente de zero, na extremidade,
, conforme o pistão. Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa específica média como função do tempo (considere que L pode ser expresso como
). (Resp. taxa de variação de
em
é
e
18/(1 + 800)).
Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por
. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp.
)
Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a)
(b)
© e
(d)
(a)
(b)
©
(d)