Considere um escoamento radial e unidimensional no plano r varphi caracterizado por vr=vr(r) e vvarphi=0. Determine as condições sobre vr(r ) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp. vr=C / r ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um escoamento radial e unidimensional no plano $ r\varphi $, onde a velocidade radial $ v_r $ depende apenas da posição $ r $ e a velocidade angular $ v_\varphi $ é zero. O que precisamos descobrir são as condições que a função $ v_r® $ deve satisfazer para que esse escoamento seja considerado incompressível. Para isso, vamos precisar lembrar como verificar a incompressibilidade em um fluxo e aplicar isso ao contexto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um fluxo incompressível. Em termos simples, um fluxo é incompressível quando a densidade do fluido permanece constante ao longo do tempo, ou seja, não há variação de densidade no escoamento. Matematicamente, isso se traduz na divergência do campo de velocidade sendo igual a zero:
nabla cdot v = 0
No nosso caso, como o fluxo é radial e unidimensional, só precisamos considerar a componente radial da velocidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo de velocidade para o escoamento dado. Em coordenadas polares $ (r, \varphi) $, a divergência de um campo de velocidade $ \mathbf{v} = v_r® \hat{r} + v_\varphi \hat{\varphi} $ é dada por:
(r, varphi)
Mas, como $ v_\varphi = 0 $, o segundo termo desaparece, ficando:
v = vr(r) r + vvarphi varphi

Passo 4

Para que o fluxo seja incompressível, temos que a divergência seja zero:
1r d (r vr)d r = 0
Multiplicando ambos os lados por $ r $:
r
Isso significa que $ r v_r $ é constante. Vamos chamar essa constante de $ C $:
d (r vr)d r = 0
Finalmente, isolando $ v_r $:
r vr

Resposta

As condições necessárias para que o escoamento seja incompressível são que:
vr = Cr
onde $ C $ é uma constante.

Exercícios relacionados

Para um escoamento incompressível no plano r theta, a componente theta da velocidade é dada por vtheta=- Asen theta / r^2. Determine uma possível componente r da velocidade. Quantas possíveis componentes r existem? Resp.: vr=-A(cos theta) / r^2
Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como dispositivo pistão-cilindro. No instante em que o pistão está em L=0,15 m afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme em rho=18 kg / m^3, e o pistão começa a se mover afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com v=12 m / s. A velocidade do gás é unidimensional e é proporcional à distância em relação à extremidade fechada, varia linearmente de zero, na extremidade, a u=v, conforme o pistão. Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para a massa específica média como função do tempo (considere que L pode ser expresso como L=L0+vt ). (Resp. taxa de variação de rho em t=0 é 1440 kg /(m^3 s) e rho= 18/(1 + 800)).
Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por vx=Ax. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp. vy=-Ay )
Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a) u=2 x y-x^2+y e v=2 x y-y^2+x^2
(b) u=x t+2 y e v=x t^2-y t
© u=2 x^2+y^2-x^2 y e v=x^2+x(y^2-2 y)
(d) u=(x+2 y) x t e v=-(2 x+y) y t