Uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa decai para
de sua quantidade original depois de 2 anos. Quanto tempo levaria para a amostra decair para
de sua quantidade original?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa que decai para 85% do que era originalmente após 2 anos. A pergunta é: quanto tempo vai levar para essa amostra decair para 15% da quantidade original? Vamos precisar usar a fórmula de decaimento exponencial e entender um pouco sobre logaritmos pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Onde:
-
é a quantidade restante após o tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a constante de decaimento, -
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Sabemos que após 2 anos, a quantidade é 85% de 100 mg, ou seja, 85 mg. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
Passo 5
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 6
Calculando o valor de
:
Passo 7
Agora, queremos encontrar o tempo
para que a amostra decaia para 15% da quantidade original, ou seja, 15 mg. Usamos a mesma fórmula:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 100:
Passo 9
Tirando o logaritmo natural:
Passo 10
Calculando
:
Resposta
Levaria aproximadamente 23,32 anos para a amostra decair para 15% de sua quantidade original.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das seguintes funções:
Seja
tal que
. Use o TVI para mostrar que
assume o valor
.
Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Usando o Teorema de Green calcule:
é a fronteira da região
orientada no sentido anti-horário.