Uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa decai para de sua quantidade original depois de 2 anos. Quanto tempo levaria para a amostra decair para de sua quantidade original?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa que decai para 85% do que era originalmente após 2 anos. A pergunta é: quanto tempo vai levar para essa amostra decair para 15% da quantidade original? Vamos precisar usar a fórmula de decaimento exponencial e entender um pouco sobre logaritmos pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento exponencial:
Onde:
  • é a quantidade restante após o tempo ,
  • é a quantidade inicial,
  • é a constante de decaimento,
  • é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Sabemos que após 2 anos, a quantidade é 85% de 100 mg, ou seja, 85 mg. Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para . Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:

Passo 5

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 6

Calculando o valor de :

Passo 7

Agora, queremos encontrar o tempo para que a amostra decaia para 15% da quantidade original, ou seja, 15 mg. Usamos a mesma fórmula:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 100:

Passo 9

Tirando o logaritmo natural:

Passo 10

Calculando :

Resposta

Levaria aproximadamente 23,32 anos para a amostra decair para 15% de sua quantidade original.

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