Usando o Teorema de Green calcule: integralC x^2 y d x-x^3 d y(x^2+y^2)^2, C é a fronteira da região (x, y) in R^2:|x| <= 1,|y| <= 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira de um quadrado com lados de a em ambas as direções, e o trajeto é no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Precisamos conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy fechada e suave que delimita uma região , temos:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, partial Qpartial x = partialpartial x ( -x^3(x^2+y^2)^2 ) :
partial Qpartial x = - 3x^2 (x^2+y^2)^2 - x^3 cdot 2(x^2+y^2) cdot 2x(x^2+y^2)^4 = -3x^2(x^2+y^2) - 4x^4(x^2+y^2)^3
Usando a regra do quociente:
partial Qpartial x = -3x^2x^2 + 3x^2y^2 - 4x^4(x^2+y^2)^3 = --x^4 + 3x^2y^2(x^2+y^2)^3
Simplificando:
partial Qpartial x = x^4 - 3x^2y^2(x^2+y^2)^3
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Ppartial y = partialpartial y ( x^2 y(x^2+y^2)^2 ) :
partial Ppartial y = x^2 (x^2+y^2)^2 - x^2 y cdot 2(x^2+y^2) cdot 2y(x^2+y^2)^4 = x^2(x^2+y^2) - 4x^2y^2(x^2+y^2)^3
Também aplicando a regra do quociente:
partial Ppartial y = x^4 + x^2y^2 - 4x^2y^2(x^2+y^2)^3 = x^4 - 3x^2y^2(x^2+y^2)^3
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy e integral duplaD ( x^4 - 3x^2y^2(x^2+y^2)^3 - x^4 - 3x^2y^2(x^2+y^2)^3 ) , dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0 , podemos aplicar o Teorema de Green:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O valor da integral é .

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