Usando o Teorema de Green calcule:
é a fronteira da região
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é a fronteira de um quadrado com lados de
a
em ambas as direções, e o trajeto é no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Precisamos conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva
fechada e suave que delimita uma região
, temos:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro,
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Também aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar o Teorema de Green:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O valor da integral é
.
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.
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