Usando o Teorema de Green calcule: é a fronteira da região orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a fronteira de um quadrado com lados de a em ambas as direções, e o trajeto é no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área. Precisamos conhecer o Teorema de Green e saber como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada e suave que delimita uma região , temos:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, :
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Também aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos e , podemos aplicar o Teorema de Green:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo .
Uma amostra de 100 mg de uma substância radioativa decai para de sua quantidade original depois de 2 anos. Quanto tempo levaria para a amostra decair para de sua quantidade original?
Uma xícara de café quente tem a temperatura de em uma sala mantida a . Depois de meia hora, o chocolate quente esfriou para . Quando o café terá esfriado para ?
Calcule os seguintes limites usando L Hôpital, quando possível: