Seja f: [-1,1] -> R tal que f(x) = x^3 + 2 - raiz(x^4 + 3). Use o TVI para mostrar que f assume o valor 1/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função assume o valor no intervalo . Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) pra isso. Para aplicar o TVI, precisamos saber que a função é contínua nesse intervalo e identificar dois pontos onde a função tenha valores de sinais opostos em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender se a função é contínua no intervalo . Sabemos que funções polinomiais como e são contínuas em todo lugar, e a raiz quadrada de uma função contínua onde ela está definida também é contínua. Então, é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular e pra ver onde a função está em relação a .
Para :
Para :

Passo 4

Observamos que e . Queremos mostrar que em algum ponto do intervalo. Como , e é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, a função deve assumir todo valor entre e , inclusive .

Passo 5

Portanto, existe pelo menos um em tal que , conforme o Teorema do Valor Intermediário nos garante.

Resposta

A função assume o valor no intervalo .

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