Calcule a derivada das seguintes funções: y = x * e^(-2 * x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Precisamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos utilizar a regra do produto e conhecer um pouco sobre derivadas de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função. Temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Sabemos que a derivada de em relação a é 1. Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A derivada de é . Aqui, , então:
  • Portanto,

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar para deixar a expressão mais simples:

Resposta

A derivada da função é .

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