Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos a região limitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método da casca cilíndrica, que é uma técnica bacana de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos rotacionar. A curva é a função logarítmica, é o eixo , e é uma linha vertical onde é aproximadamente 2,718. Essa região fica entre (porque ) e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o método da casca cilíndrica. A ideia é imaginar a região dividida em pequenas “cascas” ou cilindros altos. Cada casca tem:
  • Altura: dada pela função .
  • Circunferência: relacionada ao raio da casca, que no nosso caso é .
  • Espessura: um pequeno pedaço em , representado por .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método da casca cilíndrica é:
Onde:
  • é o raio da casca.
  • é a altura da casca, que aqui é .
  • e são os limites de integração, que no nosso caso vão de 1 a .

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.

Passo 6

Para resolver a integral , vamos usar o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:

Passo 7

Aplicando a integração por partes:

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
Vamos calcular isso nos limites de 1 a .

Passo 9

Primeiro, avaliaremos na parte superior, :
Agora, na parte inferior, :

Passo 10

Subtraindo os valores:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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