Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos a região limitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método da casca cilíndrica, que é uma técnica bacana de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos rotacionar. A curva
é a função logarítmica,
é o eixo
, e
é uma linha vertical onde
é aproximadamente 2,718. Essa região fica entre
(porque
) e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o método da casca cilíndrica. A ideia é imaginar a região dividida em pequenas “cascas” ou cilindros altos. Cada casca tem:
- Altura: dada pela função
. - Circunferência: relacionada ao raio da casca, que no nosso caso é
. - Espessura: um pequeno pedaço em
, representado por .
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método da casca cilíndrica é:
Onde:
-
é o raio da casca. -
é a altura da casca, que aqui é . -
e são os limites de integração, que no nosso caso vão de 1 a .
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos resolver essa integral para encontrar o volume.
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Passo 7
Aplicando a integração por partes:
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Vamos calcular isso nos limites de 1 a
.
Passo 9
Primeiro, avaliaremos na parte superior,
:
Agora, na parte inferior,
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.
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