Uma amostra de aço está sujeita a tensões elásticas conforme o tensor abaixo. Considerando E=200 GPa e nu=0,3 calcule as deformações correspondentes.
sigmai j=(ccc 2 & -3 & 1 -3 & 4 & 5 1 & 5 & -1 ) M P a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre tensões elásticas em uma amostra de aço e pede para calcular as deformações correspondentes. Vamos usar conceitos de Mecânica dos Materiais, especificamente a relação entre tensão e deformação usando o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson . Para resolver, vamos precisar entender como essas grandezas se relacionam através da Lei de Hooke para materiais isotrópicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a relação entre tensão ( varepsilonij = 1E sigmaij - nuE sigmakk de) e deformação ( ) em materiais isotrópicos é dada pela Lei de Hooke generalizada. A fórmula é:
Aqui, é o traço do tensor de tensões (a soma das tensões normais) e é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 3

Vamos calcular o traço do tensor de tensões sigmakk = sigma11 + sigma22 + sigma33 = 2, MPa + 4, MPa + (-1), MPa = 5, MPa :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da deformação para cada componente do tensor. Sabendo que varepsilon11 = 1200,000 times 2 - 0,3200,000 times 5 = 2200,000 - 1,5200,000 = 0,5200,000 = 2,5 times 10^-6 e varepsilon22 = 1200,000 times 4 - 0,3200,000 times 5 = 4200,000 - 1,5200,000 = 2,5200,000 = 1,25 times 10^-5 , calculamos cada varepsilon33 = 1200,000 times (-1) - 0,3200,000 times 5 = -1200,000 - 1,5200,000 = -2,5200,000 = -1,25 times 10^-5 :
Para varepsilon12 = -3200,000 = -1,5 times 10^-5 :
varepsilon13 = 1200,000 = 5 times 10^-6
Para varepsilon23 = 5200,000 = 2,5 times 10^-5 :
Para :
Para os componentes de cisalhamento ( ), como não há deformação angular em condições de pequenas deformações, eles permanecem os mesmos que as tensões aplicadas divididas por :

Resposta

As deformações correspondentes são:
varepsilonij = 2,5 times 10^-6 & -1,5 times 10^-5 & 5 times 10^-6 -1,5 times 10^-5 & 1,25 times 10^-5 & 2,5 times 10^-5 5 times 10^-6 & 2,5 times 10^-5 & -1,25 times 10^-5

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