Uma amostra aleatória de 200 livros de uma biblioteca revelou que 15 % deles tinha pelo menos uma página danificada. Obtenha um intervalo com 95 % de confiança para a proporção de livros danificados na biblioteca. Explique neste caso o significado do termo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Estatística aqui. A situação é que foi feita uma amostra de 200 livros de uma biblioteca, e descobriu que 15% deles tinha pelo menos uma página danificada. O que a gente precisa fazer é encontrar um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de livros danificados na biblioteca. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre intervalos de confiança e proporções amostrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção da amostra. A amostra tem 200 livros, e 15% deles estão danificados. Para saber o número de livros danificados na amostra:
Aqui, é a proporção amostral.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão ( ) nos dá uma ideia de quanto a nossa proporção amostral pode variar em relação à proporção verdadeira da população. A fórmula para o erro padrão é:
Onde:
Vamos calcular:

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança de 95%, precisamos do valor crítico correspondente a esse nível de confiança. Para 95%, o valor z é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que nossa estimativa esteja dentro de 1,96 desvios padrão da média amostral.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do intervalo de confiança:
Substituindo os valores que já calculamos:
Vamos calcular:
Isso nos dá dois limites:

Passo 6

Convertendo esses valores para porcentagem, temos:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de livros danificados na biblioteca é de aproximadamente 10,05% a 19,95%. Isso significa que, com 95% de confiança, a verdadeira proporção de livros com pelo menos uma página danificada está entre 10,05% e 19,95%.

Explicação do Termo

O intervalo de confiança é uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que a verdadeira proporção da populaç��o (no caso, todos os livros da biblioteca) se encontra, com um certo nível de confiança (aqui, 95%). Não significa que 95% dos intervalos calculados desse jeito vão conter a verdadeira proporção, mas sim que estamos 95% confiantes de que o intervalo específico que calculamos contém a proporção real.

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