A amostra de madeira está submetida a uma tração de 10 kN em uma máquina de teste de tração. Supondo que a tensão normal admissível da madeira seia e a tesão de cisalhamento admissível seia
, determinar as dimensōes b e t para que a amostra atinja essas tensões simultaneamente. A amostra tem largura de 25 mm .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de resistência dos materiais aqui. O que precisa? Temos uma amostra de madeira sendo puxada com uma força de 10 kN. Queremos descobrir as dimensões (largura) e (espessura) dessa amostra para que ela suporte essa força sem exceder as tensões admissíveis: uma tensão normal de 12 MPa e uma tensão de cisalhamento de 1,2 MPa. Vamos usar conhecimentos de estática e resistência dos materiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as tensões envolvidas. A tensão normal ( ) é a força por unidade de área atuando perpendicularmente à superfície, enquanto a tensão de cisalhamento ( ) é a força por unidade de área atuando paralelamente à superfície.

Passo 3

A fórmula para a tensão normal é:
Onde:
  • é a força aplicada (10 kN = 10.000 N),
  • é a área da seção transversal.
Como a amostra tem uma seção retangular, a área é:

Passo 4

Vamos agora considerar a tensão de cisalhamento. A fórmula é similar:
Onde:
  • �� a força de cisalhamento.
Nesse caso, a força de cisalhamento pode estar relacionada à força aplicada e às dimensões da amostra. Mas, para simplificar, vamos assumir que a força de cisalhamento máxima admissível também está relacionada à área da seção transversal.

Passo 5

Agora, temos duas inequações para garantir que as tensões não ultrapassem os valores admissíveis:
  1. Tensão normal admissível:
  1. Tensão de cisalhamento admissível:

Passo 6

No entanto, percebemos que há uma contradição aqui, já que estamos usando a mesma força para ambas as tensões. Isso indica que precisamos reconsiderar como a força está distribuída nas tensões. Na verdade, a força gera tanto tensão normal quanto de cisalhamento na amostra.
Vamos considerar que a força de cisalhamento seja proporcional à força normal . Para equilibrar as duas forças, podemos usar a relação de que as tensões devem ser atendidas simultaneamente, o que implica que a área deve ser escolhida de forma a satisfazer ambas as inequações.

Passo 7

Vamos resolver a primeira inequação para :
Simplificando:

Passo 8

Agora, para a tensão de cisalhamento:
Simplificando:

Passo 9

Percebemos que a restrição para a tensão normal ( ) é mais restritiva que a de cisalhamento ( ). Portanto, precisamos garantir que o produto seja pelo menos 833,33 mm².

Passo 10

Como a largura é dada como 25 mm, podemos encontrar :

Resposta

Portanto, para que a amostra de madeira suporte uma tração de 10 kN sem exceder as tensões admissíveis, as dimensões devem ser e .

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