A amostra de madeira está submetida a uma tração de 10 kN em uma máquina de teste de tração. Supondo que a tensão normal admissível da madeira seia
e a tesão de cisalhamento admissível seia
, determinar as dimensōes b e t para que a amostra atinja essas tensões simultaneamente. A amostra tem largura de 25 mm .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de resistência dos materiais aqui. O que precisa? Temos uma amostra de madeira sendo puxada com uma força de 10 kN. Queremos descobrir as dimensões
(largura) e
(espessura) dessa amostra para que ela suporte essa força sem exceder as tensões admissíveis: uma tensão normal de 12 MPa e uma tensão de cisalhamento de 1,2 MPa. Vamos usar conhecimentos de estática e resistência dos materiais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as tensões envolvidas. A tensão normal (
) é a força por unidade de área atuando perpendicularmente à superfície, enquanto a tensão de cisalhamento (
) é a força por unidade de área atuando paralelamente à superfície.
Passo 3
A fórmula para a tensão normal é:
Onde:
-
é a força aplicada (10 kN = 10.000 N), -
é a área da seção transversal.
Como a amostra tem uma seção retangular, a área
é:
Passo 4
Vamos agora considerar a tensão de cisalhamento. A fórmula é similar:
Onde:
-
�� a força de cisalhamento.
Nesse caso, a força de cisalhamento pode estar relacionada à força aplicada e às dimensões da amostra. Mas, para simplificar, vamos assumir que a força de cisalhamento máxima admissível também está relacionada à área da seção transversal.
Passo 5
Agora, temos duas inequações para garantir que as tensões não ultrapassem os valores admissíveis:
- Tensão normal admissível:
- Tensão de cisalhamento admissível:
Passo 6
No entanto, percebemos que há uma contradição aqui, já que estamos usando a mesma força
para ambas as tensões. Isso indica que precisamos reconsiderar como a força está distribuída nas tensões. Na verdade, a força
gera tanto tensão normal quanto de cisalhamento na amostra.
Vamos considerar que a força de cisalhamento
seja proporcional à força normal
. Para equilibrar as duas forças, podemos usar a relação de que as tensões devem ser atendidas simultaneamente, o que implica que a área
deve ser escolhida de forma a satisfazer ambas as inequações.
Passo 7
Vamos resolver a primeira inequação para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para a tensão de cisalhamento:
Simplificando:
Passo 9
Percebemos que a restrição para a tensão normal (
) é mais restritiva que a de cisalhamento (
). Portanto, precisamos garantir que o produto
seja pelo menos 833,33 mm².
Passo 10
Como a largura
é dada como 25 mm, podemos encontrar
:
Resposta
Portanto, para que a amostra de madeira suporte uma tração de 10 kN sem exceder as tensões admissíveis, as dimensões devem ser
e
.