A carga P aplicada a uma barra de aço é transmitida para um suporte de madeira por intermédio de uma arruela, de diâmetro interno de 25 mm , e de diâmetro externo d. Sabendo-se que a tensão normal axial na barra de aço é de 35 MPa e que a tensão média de esmagamento entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder a 5 MPa, calcule o diâmetro externo d necessário para a arruela.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de aço que está suportando uma carga . Essa carga é transferida para um suporte de madeira através de uma arruela. A arruela tem um diâmetro interno de 25 mm e um diâmetro externo que precisamos descobrir, chamado .
O problema nos dá dois tipos de tensões:
  1. A tensão axial na barra de aço é de 35 MPa.
  2. A tensão média de esmagamento entre a arruela e a madeira não deve passar de 5 MPa.
Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de tensão e área de secção transversal. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a carga sigma = PA com a tensão na barra de aço. A fórmula da tensão ( P = sigma times A ) é:
P = 35 times Abarra
Onde:
  • é a tensão,
  • é a carga,
  • é a área da seção transversal.
Rearranjando para encontrar :
Sabemos que MPa para a barra de aço, então:

Passo 3

Agora, vamos considerar a arruela. A tensão na madeira não deve exceder 5 MPa. Usando a mesma fórmula:
sigmamadeira = PAarruela
Rearranjando para Aarruela = P5 :

Passo 4

Agora, vamos relacionar as áreas. Da primeira equação, Aarruela = 35 times Abarra5 = 7 times Abarra , e da segunda, . Substituindo na segunda equação:
Isso significa que a área da arruela precisa ser 7 vezes a área da barra de aço.

Passo 5

Vamos calcular a área da arruela. A arruela é um anel, então a área é:
Aarruela = pi4 (d^2 - 25^2)
Onde sigmabarrasigmamadeira = 355 = 7 = AarruelaAbarra é o diâmetro externo que queremos encontrar, e 25 mm é o diâmetro interno.
Sabemos que , mas como a área da barra não foi fornecida, precisamos relacionar diretamente as tensões.
Sabemos que:

Passo 6

Como pi4 (d^2 - 25^2) = 7 times Abarra e Abarra = P35 , podemos substituir:
pi4 (d^2 - 25^2) = 7 times P35 = P5
Mas precisamos expressar em termos da carga. Da equação , temos:
Substituindo na equação anterior:

Passo 7

Agora, vamos substituir pi4 (d^2 - 25^2) = 35 times Abarra5 = 7 times Abarra da primeira equação na equação acima:
Como já sabemos que , essas equações confirmam nossa relação.

Passo 8

Para encontrar pi4 (d^2 - 25^2) = P5 , vamos reorganizar a equação:
pi4 (d^2 - 25^2) = 7 times pi4 Dbarra^2
Mas sem o valor de pi4 (d^2 - 25^2) = 7 times pi4 (25)^2 , precisamos encontrar outra forma. Observando que d^2 - 25^2 = 7 times 25^2 , podemos relacionar diretamente:
Assumindo que é o diâmetro da barra, que vamos considerar igual a 25 mm para simplificar (já que não foi dado), então:
Cancelando de ambos os lados:

Passo 9

Resolvendo para d^2 = 7 times 25^2 + 25^2 = 8 times 25^2 :
d^2 = 8 times 625 = 5000
Calculando:
d = raiz5000 approx 70,71 mm
Então:

Resposta

O diâmetro externo necessário para a arruela é aproximadamente 70,71 mm.

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