Uma tubulação metálica de diâmetro externo de 300 mm é fabricada com chapa de aço de 8 mm de espessura por meio de um cordão de solda ao longo de uma hélice que forma um ângulo de 20^circ com o plano perpendicular ao eixo do tubo. Sabendo-se que uma força axial P=250 kN é aplicada ao tubo, determine sigma e tau, nas direções normal e tangencial, respectivamente, ao eixo da solda.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma tubulação metálica com diâmetro externo de 300 mm e espessura de 8 mm, fabricada com um cordão de solda em forma de hélice que faz um ângulo de com o plano perpendicular ao eixo do tubo. Uma força axial de está sendo aplicada ao tubo. Precisamos determinar as tensões normal ( ) e tangencial ( ) nas direções normal e tangencial ao eixo da solda.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre como as forças aplicadas se transformam em tensões no material. Vamos também usar trigonometria para decompor a força axial nas direções normal e tangencial à solda.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a hélice formada pela solda. O ângulo de sigma = P cdot cos(theta) indica que a hélice não está nem totalmente perpendicular nem totalmente paralela ao eixo do tubo. Isso significa que a força axial tau = P cdot sin(theta) se dividirá em duas componentes: uma na direção normal à solda ( ) e outra na direção tangencial à solda ( ).
Para isso, usamos a decomposição das forças:
onde .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas componentes. Primeiro, convertendo a força axial para Newtons:
P = 250 , kN = 250 times 10^3 , N
Agora, calculamos sigma = 250 times 10^3 , N cdot cos(20^circ) :
sigma approx 250 times 10^3 , N cdot 0,9397 approx 234,925 times 10^3 , N
tau = 250 times 10^3 , N cdot sin(20^circ)
E para tau approx 250 times 10^3 , N cdot 0,3420 approx 85,5 times 10^3 , N :

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essas forças às tensões. A tensão normal L = 2pi Rcos(theta) é a força dividida pela área normal à direção da solda, e a tensão tangencial R = 300 , mm2 = 150 , mm = 0,15 , m é a força dividida pela área tangencial à solda.
A área da solda ( L = 2pi times 0,15cos(20^circ) approx 0,9420,9397 approx 1,002 , m ) pode ser calculada considerando a espessura da chapa e o comprimento do cordão de solda. Para simplificar, assumimos que a área é a espessura multiplicada pelo comprimento da hélice.
Primeiro, calculamos o comprimento da hélice por unidade de comprimento do tubo. Para uma hélice, o comprimento por rotação completa é dado por:
A = espessura times L = 0,008 , m times 1,002 , m approx 0,00802 , m^2
onde é o raio externo do tubo.
Convertendo o diâmetro para raio:
Então,
Agora, a área da solda:

Passo 5

Finalmente, calculamos as tensões dividindo as forças pelas áreas correspondentes.
Para a tensão normal sigma = 234,925 times 10^3 , N0,00802 , m^2 approx 29,32 times 10^6 , Pa = 29,32 , MPa :
tau = 85,5 times 10^3 , N0,00802 , m^2 approx 10,67 times 10^6 , Pa = 10,67 , MPa
Para a tensão tangencial :

Resposta

As tensões na solda são:
sigma approx 29,32 , MPa
tau approx 10,67 , MPa

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