Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0.) dot(x) - 3 x = t + e^(t), x(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de é , onde é a Transformada de . Nossa equação fica:

Passo 3

Substituindo as transformadas, temos:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos isolar :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para :
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos separar em frações parciais.

Passo 6

Resolvendo as frações parciais:
Para , assumimos:
Após resolver, encontramos , , .
Para , assumimos:
Resolvendo, encontramos , .

Passo 7

Substituindo os valores encontrados:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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