Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
, onde
é a Transformada de
. Nossa equação fica:
Passo 3
Substituindo as transformadas, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para
:
Para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos separar em frações parciais.
Passo 6
Resolvendo as frações parciais:
Para
, assumimos:
Após resolver, encontramos
,
,
.
Para
, assumimos:
Resolvendo, encontramos
,
.
Passo 7
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: