Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo
;
-
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando
, e
-
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando
.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre decaimento radioativo, que fala sobre como a quantidade de isótopos muda ao longo do tempo. A gente sabe que a quantidade de átomos decai seguindo a fórmula
, onde
é a meia-vida do isótopo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é essa meia-vida, sabendo que depois de 3 anos, um quinto dos átomos decaíram.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um quinto dos átomos decaíram. Se um quinto decaiu, então ficou
da quantidade original. Então, podemos escrever que:
Mas também sabemos que
, então substituindo:
Os
se cancelam, ficando:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo na base 2 dos dois lados. Isso nos ajuda a lidar com o expoente que tem o
:
Sabemos que
e que
, então:
Então temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Em seguida, dividimos ambos os lados por -0,3:
Resposta
A meia-vida desse isótopo é de 10 anos.
Exercícios relacionados
Uma ordem num corpo
consiste em dar um subconjunto
de
tal que:
(i) se então
e
é chamado o conjunto de elementos positivos) e
(ii) dado então apenas uma das possibilidades se verifica: ou
, ou
ou
.
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. De fato, se
então
por (i). Por outro lado, se
então
, por (i) novamente. Conclua que o corpo
não pode admitir uma ordem.
(i) se
(ii) dado
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de
Verifique a série quanto à convergência ou divergência usando o Teste da Divergência:
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Prove que
para todo
.