Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre decaimento radioativo, que fala sobre como a quantidade de isótopos muda ao longo do tempo. A gente sabe que a quantidade de átomos decai seguindo a fórmula , onde é a meia-vida do isótopo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é essa meia-vida, sabendo que depois de 3 anos, um quinto dos átomos decaíram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um quinto dos átomos decaíram. Se um quinto decaiu, então ficou da quantidade original. Então, podemos escrever que:
Mas também sabemos que , então substituindo:
Os se cancelam, ficando:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo na base 2 dos dois lados. Isso nos ajuda a lidar com o expoente que tem o :
Sabemos que e que , então:
Então temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Em seguida, dividimos ambos os lados por -0,3:

Resposta

A meia-vida desse isótopo é de 10 anos.

Exercícios relacionados

Uma ordem num corpo consiste em dar um subconjunto de tal que:
(i) se então e é chamado o conjunto de elementos positivos) e
(ii) dado então apenas uma das possibilidades se verifica: ou , ou ou .
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. De fato, se então por (i). Por outro lado, se então , por (i) novamente. Conclua que o corpo não pode admitir uma ordem.
Verifique a série quanto à convergência ou divergência usando o Teste da Divergência:
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Prove que para todo .