Uma ordem num corpo consiste em dar um subconjunto de tal que:
(i) se então e é chamado o conjunto de elementos positivos) e
(ii) dado então apenas uma das possibilidades se verifica: ou , ou ou .
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. De fato, se então por (i). Por outro lado, se então , por (i) novamente. Conclua que o corpo não pode admitir uma ordem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. A questão fala sobre uma ordem num corpo , que basicamente define o que consideramos como “positivo” nesse conjunto. Para resolver, vamos usar os conceitos de adição e multiplicação dentro desse corpo e, no final, mostrar que os números complexos não podem ter essa ordem.

Passo 2

Vamos começar com a definição de uma ordem num corpo. Ela exige que haja um subconjunto de elementos chamados positivos ( ) que satisfaça duas condições:
  1. Se você somar ou multiplicar dois elementos positivos, o resultado também é positivo.
  2. Para qualquer elemento no corpo, ele é positivo, negativo (o inverso é positivo) ou é zero.

Passo 3

Agora, vamos ver o que a questão nos dá: o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. Isso acontece porque:
  • Se é positivo, então também é positivo.
  • Se é positivo, então também é positivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso aos números complexos . Suponha que pudesse ser ordenado, ou seja, ter um conjunto de números complexos positivos que satisfazem as condições acima.

Passo 5

Considere o número imaginário em . Segundo nossa definição, deveria ser positivo porque é o quadrado de um elemento não nulo. Mas isso leva a um problema, porque não pode ser positivo e negativo ao mesmo tempo, quebrando a segunda condição da ordem.

Passo 6

Esse conflito mostra que não é possível definir uma ordem em que satisfaça todas as condições necessárias. Portanto, os números complexos não podem ser ordenados de forma que respeitem a definição dada.

Resposta

Concluímos que o corpo não pode admitir uma ordem conforme as condições estabelecidas.

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