Prove que 3 + 11 + ... + (8n - 5) = 4n^2 - n para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma da sequência é igual a para todo número natural n. Isso está relacionado com a matéria de progressões aritméticas e somas de séries. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma das progressões aritméticas e entender cada parte dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a sequência que estamos somando. Observamos que os termos são . Essa é uma progressão aritmética (PA), onde cada termo aumenta por uma quantidade fixa, chamada de razão.

Passo 3

Vamos encontrar a razão da PA. Subtraindo dois termos consecutivos:
Então, a razão r é .

Passo 4

Agora, identificamos o primeiro termo da PA, que é , e o último termo . Sabendo disso, podemos usar a fórmula da soma dos n termos de uma PA:

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula:

Resposta

Portanto, provamos que para todo n in N.

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