Prove que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma da sequência é igual a para todo número natural . Isso está relacionado com a matéria de progressões aritméticas e somas de séries. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma das progressões aritméticas e entender cada parte dela.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a sequência que estamos somando. Observamos que os termos são . Essa é uma progressão aritmética (PA), onde cada termo aumenta por uma quantidade fixa, chamada de razão.

Passo 3

Vamos encontrar a razão da PA. Subtraindo dois termos consecutivos:
Então, a razão é .

Passo 4

Agora, identificamos o primeiro termo da PA, que é , e o último termo . Sabendo disso, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA:

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula:

Resposta

Portanto, provamos que para todo .

Exercícios relacionados

Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando .
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Prove que é divisível por 8 para todo .