Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma da sequência
é igual a
para todo número natural
. Isso está relacionado com a matéria de progressões aritméticas e somas de séries. Para resolver, vamos usar a fórmula da soma das progressões aritméticas e entender cada parte dela.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a sequência que estamos somando. Observamos que os termos são
. Essa é uma progressão aritmética (PA), onde cada termo aumenta por uma quantidade fixa, chamada de razão.
Passo 3
Vamos encontrar a razão da PA. Subtraindo dois termos consecutivos:
Então, a razão
é
.
Passo 4
Agora, identificamos o primeiro termo da PA, que é
, e o último termo
. Sabendo disso, podemos usar a fórmula da soma dos
termos de uma PA:
Passo 5
Substituímos os valores na fórmula:
Resposta
Portanto, provamos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ; -
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e -
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando.
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Prove que
é divisível por 8 para todo
.