Verifique a série quanto à convergência ou divergência usando o Teste da Divergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série
converge ou diverge usando o Teste da Divergência. Esse exercício está na área de teoria das séries, que faz parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Divergência e como aplicá-lo à série dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teste da Divergência. Esse teste é bem simples e serve para nos dar uma ideia inicial sobre o comportamento de uma série. A regra é a seguinte:
- Se o limite dos termos gerais da série quando
tende ao infinito não for zero, ou não existir, então a série diverge. - Se o limite for zero, o teste não nos dá uma resposta definitiva; a série pode convergir ou divergir, e precisamos de outros métodos para descobrir.
Matematicamente, se temos uma série
, o Teste da Divergência nos diz para olhar para
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série
.
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Vamos calcular o limite desse termo quando
tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial
cresce muito rápido conforme
aumenta. Na verdade,
cresce mais rapidamente que qualquer potência exponencial de
. Portanto:
Passo 4
Como o limite do termo geral é zero, isto é:
Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral é zero, o teste não pode afirmar se a série converge ou diverge. Ou seja, o teste é inconclusivo nesse caso.
Passo 5
Apesar do Teste da Divergência não nos dar uma resposta definitiva aqui, sabemos de outras maneiras que a série
converge. De fato, essa série converge para
, onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Mas, focando apenas no Teste da Divergência, só podemos dizer que a série não diverge com base nesse teste específico.
Resposta
Usando o Teste da Divergência, a série
não diverge, já que o limite do termo geral é zero.