Verifique a série quanto à convergência ou divergência usando o Teste da Divergência:
sumn=1^infty 1n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a série converge ou diverge usando o Teste da Divergência. Esse exercício está na área de teoria das séries, que faz parte do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teste da Divergência e como aplicá-lo à série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teste da Divergência. Esse teste é bem simples e serve para nos dar uma ideia inicial sobre o comportamento de uma série. A regra é a seguinte:
  • Se o limite dos termos gerais da série quando tende ao infinito não for zero, ou não existir, então a série diverge.
  • Se o limite for zero, o teste não nos dá uma resposta definitiva; a série pode convergir ou divergir, e precisamos de outros métodos para descobrir.
Matematicamente, se temos uma série , o Teste da Divergência nos diz para olhar para .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série an = 1n! .
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
limn to infty 1n!
Vamos calcular o limite desse termo quando limn to infty 1n! = 0 tende ao infinito:
Sabemos que o fatorial cresce muito rápido conforme aumenta. Na verdade, cresce mais rapidamente que qualquer potência exponencial de . Portanto:

Passo 4

Como o limite do termo geral é zero, isto é:
limn to infty 1n! = 0
Segundo o Teste da Divergência, se o limite do termo geral é zero, o teste não pode afirmar se a série converge ou diverge. Ou seja, o teste é inconclusivo nesse caso.

Passo 5

Apesar do Teste da Divergência não nos dar uma resposta definitiva aqui, sabemos de outras maneiras que a série converge. De fato, essa série converge para , onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Mas, focando apenas no Teste da Divergência, só podemos dizer que a série não diverge com base nesse teste específico.

Resposta

Usando o Teste da Divergência, a série não diverge, já que o limite do termo geral é zero.

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