Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio de Taylor da função centrado em . Para isso, vamos utilizar o conceito de série de Taylor, que aproxima funções polinomiais a partir de suas derivadas no ponto de expansão. Precisamos calcular as derivadas de até a terceira ordem e avaliá-las em .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Usando a regra de derivação de potências:

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada:

Passo 4

Em seguida, calculamos a terceira derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos as derivadas no ponto :

Passo 6

Com os valores das derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de terceira ordem:
Substituindo os valores:

Resposta

O polinômio de Taylor de terceira ordem da função centrado em é:

Exercícios relacionados

Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando .
Uma ordem num corpo consiste em dar um subconjunto de tal que:
(i) se então e é chamado o conjunto de elementos positivos) e
(ii) dado então apenas uma das possibilidades se verifica: ou , ou ou .
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. De fato, se então por (i). Por outro lado, se então , por (i) novamente. Conclua que o corpo não pode admitir uma ordem.
Prove que para todo .
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .