Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio de Taylor
da função
centrado em
. Para isso, vamos utilizar o conceito de série de Taylor, que aproxima funções polinomiais a partir de suas derivadas no ponto de expansão. Precisamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliá-las em
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Usando a regra de derivação de potências:
Passo 3
Agora, calculamos a segunda derivada:
Passo 4
Em seguida, calculamos a terceira derivada:
Passo 5
Agora, avaliamos as derivadas no ponto
:
Passo 6
Com os valores das derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de terceira ordem:
Substituindo os valores:
Resposta
O polinômio de Taylor de terceira ordem da função
centrado em
é:
Exercícios relacionados
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ; -
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e -
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
a) Determine a meia vida deste isótopo, utilizando.
Uma ordem num corpo
consiste em dar um subconjunto
de
tal que:
(i) se então
e
é chamado o conjunto de elementos positivos) e
(ii) dado então apenas uma das possibilidades se verifica: ou
, ou
ou
.
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de é positivo. De fato, se
então
por (i). Por outro lado, se
então
, por (i) novamente. Conclua que o corpo
não pode admitir uma ordem.
(i) se
(ii) dado
Segue daí que o quadrado de qualquer elemento não nulo de
Prove que
para todo
.
Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.