Amplie as idéias usadas no exemplo 4 deste parágrafo para provar o seguinte: se A=(ai j)
é uma matriz em que ai j=0, todas as vezes que i, então
det(A)=a11 a22 cdot ldots cdot an n

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz quadrada onde, sempre que a linha for menor que a coluna , ou seja, , o elemento é zero. O que precisamos provar é que o determinante dessa matriz é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes triangulares e propriedades dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero (ou seja, para ) é chamada de matriz triangular inferior. Isso simplifica bastante o cálculo do determinante.

Passo 3

Uma propriedade importante dos determinantes é que, para matrizes triangulares (tanto inferior quanto superior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja, se det(A) = a11 times a22 times ldots times ann é triangular inferior, então:
Essa propriedade facilita muito o cálculo, pois não precisamos realizar operações complicadas como a expansão de Laplace.

Passo 4

Para entender por que isso acontece, vamos lembrar que o determinante de uma matriz pode ser calculado multiplicando os elementos de uma diagonal após a matriz estar em forma triangular. Como nossa matriz já é triangular inferior, não precisamos fazer mais nada para chegar nessa forma. Assim, o determinante é diretamente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 5

Portanto, aplicando essa propriedade à nossa matriz det(A) = a11 times a22 times ldots times ann , podemos concluir que:
Isso prova o que queríamos demonstrar.

Resposta

O determinante da matriz det(A) = a11 times a22 times ldots times ann é igual ao produto dos elementos da diagonal principal:

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