Amplie as idéias usadas no exemplo 4 deste parágrafo para provar o seguinte: se
é uma matriz em que , todas as vezes que , então
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz quadrada onde, sempre que a linha for menor que a coluna , ou seja, , o elemento é zero. O que precisamos provar é que o determinante dessa matriz é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes triangulares e propriedades dos determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma matriz onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero (ou seja, para ) é chamada de matriz triangular inferior. Isso simplifica bastante o cálculo do determinante.
Passo 3
Uma propriedade importante dos determinantes é que, para matrizes triangulares (tanto inferior quanto superior), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Ou seja, se é triangular inferior, então:
Essa propriedade facilita muito o cálculo, pois não precisamos realizar operações complicadas como a expansão de Laplace.
Passo 4
Para entender por que isso acontece, vamos lembrar que o determinante de uma matriz pode ser calculado multiplicando os elementos de uma diagonal após a matriz estar em forma triangular. Como nossa matriz já é triangular inferior, não precisamos fazer mais nada para chegar nessa forma. Assim, o determinante é diretamente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 5
Portanto, aplicando essa propriedade à nossa matriz , podemos concluir que:
Isso prova o que queríamos demonstrar.
Resposta
O determinante da matriz é igual ao produto dos elementos da diagonal principal: