Seja o produto interno Euclidiano do e sejam , e . Mostre que.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que fala sobre Produto Interno Euclidiano no espaço de 2 dimensões, o . O que a gente precisa mostrar aqui é que o produto interno de com é igual ao produto interno de com . Para isso, vamos usar a definição de produto interno e fazer umas contas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto interno de dois vetores no . Se a gente tem dois vetores e , o produto interno é dado por:
Essa fórmula basicamente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma os resultados.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos vetores que a gente tem:
Calculando :
Agora, vamos calcular :

Resposta

Como e , mostramos que .

Exercícios relacionados

Seja e o subespaço gerado por e .
Encontre uma base para considerando com o produto interno
Dados , determinar vetores e de modo que os três vetores sejam mutuamente ortogonais.
Calcule , onde .
Amplie as idéias usadas no exemplo 4 deste parágrafo para provar o seguinte: se
é uma matriz em que , todas as vezes que , então