O traço de um elipsoide (centro na origem) no plano é a elipse . Determinar a equação do elipsoide, sabendo que contém o ponto .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. Temos um elipsoide centrado na origem, e o traço desse elipsoide no plano é a elipse quando . Além disso, sabemos que o elipsoide passa pelo ponto . O que precisamos fazer é encontrar a equação completa desse elipsoide. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre a forma geral das equações de elipsoides e como determinar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de um elipsoide centrado na origem. A equação é:
Aqui, , e são os semi-eixos do elipsoide nas direções , e , respectivamente. Nosso objetivo é descobrir os valores de , e .

Passo 3

Vamos usar o traço no plano para encontrar alguns desses parâmetros. Quando , a equação do elipsoide se reduz a:
Comparando isso com o traço dado , vemos que:
e
Agora já sabemos que e .

Passo 4

Com e encontrados, a equação do elipsoide fica:
Simplificando:
Agora, precisamos descobrir o valor de .

Passo 5

Para achar , vamos usar o fato de que o ponto está no elipsoide. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, isolando :

Passo 7

Com , podemos escrever a equação final do elipsoide:

Resposta

A equação do elipsoide é:

Exercícios relacionados

Determine a quantidade de glicerina transbordada quando a temperatura de uma xicara de aluminio de varia de . Dados: .
Amplie as idéias usadas no exemplo 4 deste parágrafo para provar o seguinte: se
é uma matriz em que , todas as vezes que , então
Um apontador laser vermelho incide sobre uma grade de difração produzindo um padrão de difração sobre uma tela atrás da grade. Se o apontador laser vermelho for substituído pelo verde, os pontos claros verdes sobre a tela estarão mais próximos uns dos outros ou mais afastados em relação aos pontos produzidos pelo vermelho?
Nos Exercícios 17-24, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
20.