O traço de um elipsoide (centro na origem) no plano
é a elipse
. Determinar a equação do elipsoide, sabendo que contém o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo a questão. Temos um elipsoide centrado na origem, e o traço desse elipsoide no plano
é a elipse
quando
. Além disso, sabemos que o elipsoide passa pelo ponto
. O que precisamos fazer é encontrar a equação completa desse elipsoide. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre a forma geral das equações de elipsoides e como determinar seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de um elipsoide centrado na origem. A equação é:
Aqui,
,
e
são os semi-eixos do elipsoide nas direções
,
e
, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir os valores de
,
e
.
Passo 3
Vamos usar o traço no plano
para encontrar alguns desses parâmetros. Quando
, a equação do elipsoide se reduz a:
Comparando isso com o traço dado
, vemos que:
e
Agora já sabemos que
e
.
Passo 4
Com
e
encontrados, a equação do elipsoide fica:
Simplificando:
Agora, precisamos descobrir o valor de
.
Passo 5
Para achar
, vamos usar o fato de que o ponto
está no elipsoide. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Passo 7
Com
, podemos escrever a equação final do elipsoide:
Resposta
A equação do elipsoide é:
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Determine a quantidade de glicerina transbordada quando a temperatura de uma xicara de aluminio de
varia de
. Dados:
.
Amplie as idéias usadas no exemplo 4 deste parágrafo para provar o seguinte: se
é uma matriz em que , todas as vezes que
, então
é uma matriz em que
Um apontador laser vermelho incide sobre uma grade de difração produzindo um padrão de difração sobre uma tela atrás da grade. Se o apontador laser vermelho for substituído pelo verde, os pontos claros verdes sobre a tela estarão mais próximos uns dos outros ou mais afastados em relação aos pontos produzidos pelo vermelho?
Nos Exercícios 17-24, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
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