O traço de um elipsoide (centro na origem) no plano x y é a elipse x^2+y^24=1, z=0. Determinar a equação do elipsoide, sabendo que contém o ponto (0,1, raiz6).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo a questão. Temos um elipsoide centrado na origem, e o traço desse elipsoide no plano é a elipse quando . Além disso, sabemos que o elipsoide passa pelo ponto . O que precisamos fazer é encontrar a equação completa desse elipsoide. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre a forma geral das equações de elipsoides e como determinar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de um elipsoide centrado na origem. A equação é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Aqui, , e são os semi-eixos do elipsoide nas direções , e , respectivamente. Nosso objetivo é descobrir os valores de , e .

Passo 3

Vamos usar o traço no plano x^2a^2 + y^2b^2 = 1 para encontrar alguns desses parâmetros. Quando x^2a^2 = x^2 Rightarrow a^2 = 1 Rightarrow a = 1 , a equação do elipsoide se reduz a:
y^2b^2 = y^24 Rightarrow b^2 = 4 Rightarrow b = 2
Comparando isso com o traço dado , vemos que:
e
Agora já sabemos que e .

Passo 4

Com x^21 + y^24 + z^2c^2 = 1 e x^2 + y^24 + z^2c^2 = 1 encontrados, a equação do elipsoide fica:
Simplificando:
Agora, precisamos descobrir o valor de .

Passo 5

Para achar 0^2 + 1^24 + (raiz6)^2c^2 = 1 , vamos usar o fato de que o ponto 0 + 14 + 6c^2 = 1 está no elipsoide. Vamos substituir esses valores na equação:
14 + 6c^2 = 1
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver para 6c^2 = 1 - 14 :
6c^2 = 34
6 = 34 c^2
Multiplicando ambos os lados por c^2 = 6 times 43 = 8 :
Agora, isolando :

Passo 7

Com x^2 + y^24 + z^28 = 1 , podemos escrever a equação final do elipsoide:

Resposta

A equação do elipsoide é:
x^2 + y^24 + z^28 = 1

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