A amplitude de uma onda viajando em uma corda é 0,250 m. A onda de 80,0 Hz está viajando na direção x positiva a uma velocidade de onda de 17,5 m / s. (a) Determine seu comprimento de onda e escreva a equação para sua função de onda independente do tempo. (b) Para t=3,00 s, calcule o deslocamento e a velocidade transversal do ponto na corda em x=1,25 m, assumindo uma fase inicial phii igual a zero. © Escreva a função de onda dependente do tempo para a onda. (d) Se o deslocamento da corda em x=1,25 m é 0,210 m em t=3,00 s, escreva a função de onda dependente do tempo que usa o menor valor possível de phii.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma onda que viaja em uma corda com uma amplitude de e uma frequência de . Essa onda está se movendo na direção positiva do eixo com uma velocidade de . Vamos resolver as quatro partes do exercício, usando conceitos de ondas, como comprimento de onda, função de onda e velocidade transversal.

Passo 2

Parte (a): Determinar o comprimento de onda e escrever a equação da função de onda independente do tempo.
Primeiro, precisamos encontrar o comprimento de onda ( v = f lambda ). A relação entre a velocidade da onda ( lambda = vf ), a frequência ( lambda = 17,5 , m/s80,0 , Hz = 0,21875 , m ) e o comprimento de onda é dada por:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phii)
Vamos rearranjar para encontrar y(x) = A sin(kx + phii) :
k = 2pilambda = 2pi0,219 , m approx 28,71 , rad/m
Substituindo os valores:
y(x) = 0,250 , m times sin(28,71x)
Arredondando, temos .
Agora, vamos escrever a equação da função de onda independente do tempo. A forma geral de uma onda que se propaga ao longo do eixo é:
Como queremos a fun��ão independente do tempo ( ), vamos remover o termo que envolve :
Aqui, é o número de onda e é a fase inicial. O número de onda é calculado por:
Assumindo que a fase inicial , a equação fica:

Passo 3

Parte (b): Calcular o deslocamento e a velocidade transversal no ponto y(x, t) = A sin(kx - omega t + phii) para omega = 2pi f = 2pi times 80,0 , Hz approx 502,65 , rad/s .
Primeiro, usamos a função de onda completa, que depende do tempo:
y(1,25, 3,00) = 0,250 times sin(28,71 times 1,25 - 502,65 times 3,00)
Onde 28,71 times 1,25 = 35,8875 , rad é a frequência angular, calculada por:
502,65 times 3,00 = 1507,95 , rad
Substituindo os valores:
y = 0,250 times sin(35,8875 - 1507,95) = 0,250 times sin(-1472,0625)
Vamos calcular os argumentos:
-1472,0625 , rad mod 2pi approx -1472,0625 + 234 times 2pi approx -1472,0625 + 1471,910 approx -0,1525 , rad
y approx 0,250 times sin(-0,1525) approx 0,250 times (-0,1521) approx -0,038 , m
Agora,
vy = partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t + phii)
Como o seno é uma função periódica com período vy = -0,250 times 502,65 times cos(-0,1525) approx -125,6625 times 0,988 approx -124,46 , m/s , podemos simplificar o ângulo:
Então,
O deslocamento é .
Agora, para a velocidade transversal ( ), usamos a derivada da função de onda em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
A velocidade transversal é aproximadamente .

Passo 4

Parte ©: Escrever a função de onda dependente do tempo para a onda.
A função de onda completa que depende tanto de y(x, t) = A sin(kx - omega t + phii) quanto de A = 0,250 , m é:
k = 28,71 , rad/m
Já calculamos anteriormente:
omega = 502,65 , rad/s
y(x, t) = 0,250 , m times sin(28,71x - 502,65t)
Assumindo a fase inicial , a função fica:

Passo 5

Parte (d): Escrever a função de onda dependente do tempo com deslocamento y(x, t) = A sin(kx - omega t + phii) = 0,210 , m em 0,250 times sin(28,71 times 1,25 - 502,65 times 3,00 + phii) = 0,210 e 28,71 times 1,25 = 35,8875 , rad , usando o menor valor possível de 502,65 times 3,00 = 1507,95 , rad .
Sabemos que:
0,250 times sin(35,8875 - 1507,95 + phii) = 0,210
Substituindo os valores:
35,8875 - 1507,95 approx -1472,0625 , rad
Calculando os argumentos:
sin(-1472,0625 + 234 times 2pi) approx sin(-0,1525) approx -0,1521
0,250 times sin(-0,1525 + phii) = 0,210
Então:
sin(-0,1525 + phii) = 0,2100,250 = 0,84
Simplificando o ângulo:
-0,1525 + phii = arcsin(0,84) approx 1,0 , rad
Como o seno é periódico:
phii approx 1,0 + 0,1525 = 1,1525 , rad
Portanto:
y(x, t) = 0,250 , m times sin(28,71x - 502,65t + 1,15)
Resolvendo para :
Então:
O menor valor possível para que satisfaz a equação é aproximadamente .
A função de onda fica:

Resposta

[As respostas estão distribuídas nos passos acima.]

Exercícios relacionados

Uma corda esticada possui massa de 0.128 Kg e comprimento de 3.60 m Qual potência média deve ser fornecida à corda para gerar ondas senoidais cuja amplitude seja 0.200 m e comprimento de onda de 0.600 m se as ondas viajam à 25.0 m / s ?
Uma onda da forma phi(x, t)=A sin (2 pi(x-v t)), lambda>0, v>0, A>0 está viajando ao longo de uma corda. No tempot =0, eu prendo a corda em x=0. Encontre a amplitude da corda nas regiões x>0 e x<0 nos momentos subsequentes.
Três dimensões. Três partículas pontuais são mantidas fixas em um sistema de coordenadas xyz. A partícula A, na origem, tem massa mA. A partícula B, nas coordenadas ( 2,00 d ; 1,00 d ; 2,00 d ), tem massa 2,00 mA e a partícula C, nas coordenadas ( -1,00 d ; 2,00 d ;-3,00 d ) tem massa 3,00 mA. Uma quarta partícula D, de massa 4,00 mA, pode ser colocada nas proximidades das outras partículas. Em termos da distância d, em que coordenada y a partícula D deve ser colocada para que a força gravitacional exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula A seja nula?
Um helicóptero levanta verticalmente, por meio de um cabo, um bombeiro de 72 kg até uma altura 15 acima da superfície do oceano. A aceleração do bombeiro é g/10. Pergunta-se qual é a energia cinética do bombeiro imediatamente antes de chegar ao helicóptero?