Uma onda da forma phi(x, t)=A sin (2 pi(x-v t)), lambda>0, v>0, A>0 está viajando ao longo de uma corda. No tempot =0, eu prendo a corda em x=0. Encontre a amplitude da corda nas regiões x>0 e x<0 nos momentos subsequentes.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma onda que se propaga ao longo de uma corda, dada pela função:
phi(x, t) = A sin (2pi(x - vt))
onde é a amplitude, é a velocidade da onda, e é o comprimento de onda. No instante inicial ( ), a corda é presa em . Nosso objetivo é encontrar a amplitude da corda para as regiões e nos momentos seguintes.
Para resolver isso, vamos precisar entender como uma onda se comporta quando encontra uma barreira fixa, como é o caso de prender a corda em . Quando uma onda atinge uma barreira fixa, ocorre a reflexão da onda, e a onda refletida tem amplitude igual à onda incidente, mas com sinal invertido.

Passo 2

Vamos começar considerando a onda incidente que está viajando para a direita ( phiincidente(x, t) = A sin (2pi(x - vt)) ):
phiref<=tida(x, t) = -A sin (2pi(-x - vt))
Quando a onda atinge o ponto onde a corda está presa, uma onda refletida é gerada. A onda refletida viaja para a esquerda ( ) e tem amplitude invertida devido à condição de fronteira fixa. A expressão da onda refletida é:

Passo 3

Simplificando a expressão da onda refletida:
phiref<=tida(x, t) = -A sin (2pi(-x - vt)) = -A sin (-2pi(x + vt))
Como phiref<=tida(x, t) = -A (-sin(2pi(x + vt))) = A sin(2pi(x + vt)) , temos:

Passo 4

Agora, vamos considerar a amplitude da corda nas regiões e nos tempos seguintes.
  • Para : Apenas a onda incidente está presente, já que a onda refletida se propaga para . Portanto, a amplitude na região é simplesmente .
  • Para : A onda refletida está presente. A amplitude da onda refletida é , mas como a onda refletida se move na direção oposta, a amplitude efetiva também é .

Passo 5

Resumindo, após o instante inicial ( ):
  • Para : A amplitude da corda permanece , já que apenas a onda incidente está presente.
  • Para : A amplitude da corda também é , devido à onda refletida que se propaga para esta região.

Resposta

A amplitude da corda é para ambas as regiões e nos momentos subsequentes.

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