Se
para todo
e
converge então
converge.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números
que são maiores ou iguais a zero para todo
e sabemos que a série
converge. Queremos provar que a série
também converge. Para resolver isso, vamos usar o Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é uma ferramenta útil para comparar séries e provar a convergência.
Passo 2
Primeiro, lembramos que quando uma série
converge e todos os termos
são não negativos, isso implica que os termos individuais
tendem a zero conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para séries. Essa desigualdade nos diz que:
Aqui, estamos dividindo
por
, e aplicando a desigualdade para separar as séries.
Passo 4
Sabemos que a série
converge por hipótese. Além disso, a série
é uma série p com
, que também converge (é uma série de Basel conhecida por convergir para
).
Passo 5
Como ambas as séries à direita da desigualdade convergem, seus produtos também convergem. Portanto, a série
é limitada por um número finito e, consequentemente, ela mesma converge.
Resposta
A série
converge.
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(a)
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