Se para todo e converge então converge.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de números que são maiores ou iguais a zero para todo e sabemos que a série converge. Queremos provar que a série também converge. Para resolver isso, vamos usar o Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é uma ferramenta útil para comparar séries e provar a convergência.

Passo 2

Primeiro, lembramos que quando uma série converge e todos os termos são não negativos, isso implica que os termos individuais tendem a zero conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz para séries. Essa desigualdade nos diz que:
Aqui, estamos dividindo por , e aplicando a desigualdade para separar as séries.

Passo 4

Sabemos que a série converge por hipótese. Além disso, a série é uma série p com , que também converge (é uma série de Basel conhecida por convergir para ).

Passo 5

Como ambas as séries à direita da desigualdade convergem, seus produtos também convergem. Portanto, a série é limitada por um número finito e, consequentemente, ela mesma converge.

Resposta

A série converge.

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