Como você muda de variáveis em uma integral tripla?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você quer saber como mudar de variáveis em uma integral tripla. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais triplas, mudança de variáveis e o uso de determinantes jacobianos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral tripla. É uma extensão da integral dupla para três dimensões, usada para calcular volumes ou outras grandezas em um espaço tridimensional. A notação geral é:

Passo 3

Agora, quando queremos mudar de variáveis, por exemplo, de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas ou cilíndricas, estamos substituindo por novas variáveis que melhor se adequam ao problema. Isso pode simplificar a integração.

Passo 4

Para fazer essa mudança, precisamos usar o determinante jacobiano. O jacobiano é uma ferramenta matemática que nos ajuda a ajustar o volume de integração quando mudamos de coordenadas. Ele é calculado a partir das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.

Passo 5

Vamos supor que estamos mudando de coordenadas cartesianas para coordenadas . A integral tripla então fica:
Aqui, é o valor absoluto do determinante jacobiano.

Passo 6

Vamos ver um exemplo mais concreto. Suponha que estamos mudando para coordenadas esféricas, onde:
O determinante jacobiano para essa mudança é:

Passo 7

Portanto, a integral tripla em coordenadas esféricas fica:
Isso ajusta o volume de integração de acordo com a nova parametrização das variáveis.

Passo 8

É importante sempre calcular o determinante jacobiano correspondente à mudança de variáveis que você está realizando. Isso garante que o volume seja corretamente ajustado na nova coordenada.

Resposta

Para mudar de variáveis em uma integral tripla, substitua as coordenadas antigas pelas novas usando as relações de mudança, calcule o determinante jacobiano correspondente, e reescreva a integral com as novas variáveis e o fator do jacobiano. A integral transformada será:

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