Determinar os valores máximos e mínimos locais e pontos de selas das seguintes funções definidas em R^2. 1.1 f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y + 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função . Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, especificamente lidando com pontos críticos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero e depois analisar essas soluções para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação:
Resolvendo a segunda equação:
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem:
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 5

Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Ponto (1, 1):
Isso indica um mínimo local.
  1. Ponto (-1, 1):
Com , é um ponto de sela.
  1. Ponto (1, -1):
Também é um ponto de sela.
  1. Ponto (-1, -1):
Isso indica um máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Mínimo local no ponto
  • Máximo local no ponto
  • Pontos de sela nos pontos e

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