Se uma sequência de números reais tal que . A Série converge? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números reais que, quando fica bem grande, os termos se aproximam de zero. A pergunta é: a série formada por converge ou não? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, séries e o comportamento da função cosseno quando o seu argumento está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como o cosseno se comporta para valores pequenos. Sabemos que, quando está perto de zero, podemos aproximar usando a seguinte expressão:
Isso é uma aproximação da série de Taylor do cosseno. Então, para cada termo , podemos dizer que:

Passo 3

Agora, vamos analisar a série usando essa aproximação:
Podemos separar essa soma em duas partes:

Passo 4

Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente:
  1. : Essa é uma série constante onde cada termo é 1. Somar infinitos 1s dá um valor infinito, ou seja, essa série diverge.
  2. : Como , se os termos são suficientemente pequenos, essa série pode convergir ou divergir dependendo da taxa com que se aproxima de zero. Mas, independente disso, o que importa para a nossa análise é a primeira parte.

Passo 5

Voltando à nossa expressão original:
Como a primeira série já diverge para o infinito, mesmo que a segunda série convirja ou não, o comportamento dominante é a divergência da primeira parte.

Resposta

A série não converge; ela diverge para o infinito.

Exercícios relacionados

a)Se e são positivos, prove que

b)(Teorema de Stolz)

Seja uma sequência arbitrária de números reais e uma sequência crescente com . Supondo que , mostre que .
Mostre que
Determine a primeira derivada das funçōes dos exercícios 11-18.