Se
uma sequência de números reais tal que
. A Série
converge? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números reais
que, quando
fica bem grande, os termos
se aproximam de zero. A pergunta é: a série formada por
converge ou não? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites, séries e o comportamento da função cosseno quando o seu argumento está próximo de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como o cosseno se comporta para valores pequenos. Sabemos que, quando
está perto de zero, podemos aproximar
usando a seguinte expressão:
Isso é uma aproximação da série de Taylor do cosseno. Então, para cada termo
, podemos dizer que:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
usando essa aproximação:
Podemos separar essa soma em duas partes:
Passo 4
Vamos analisar cada uma dessas séries separadamente:
-
: Essa é uma série constante onde cada termo é 1. Somar infinitos 1s dá um valor infinito, ou seja, essa série diverge. -
: Como , se os termos são suficientemente pequenos, essa série pode convergir ou divergir dependendo da taxa com que se aproxima de zero. Mas, independente disso, o que importa para a nossa análise é a primeira parte.
Passo 5
Voltando à nossa expressão original:
Como a primeira série
já diverge para o infinito, mesmo que a segunda série
convirja ou não, o comportamento dominante é a divergência da primeira parte.
Resposta
A série
não converge; ela diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
a)Se
e
são positivos, prove que
b)(Teorema de Stolz)
Seja
uma sequência arbitrária de números reais e
uma sequência crescente com
. Supondo que
, mostre que
.
Mostre que
Determine a primeira derivada das funçōes dos exercícios 11-18.