Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que é igual a uma fração contínua infinita de 1’s, ou seja:
Vamos usar conceitos de frações contínuas e equações quadráticas para resolver isso. Precisamos entender como representar uma fração contínua como uma equação que podemos resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar essa fração contínua de . Assim, temos:
Perceba que a parte que está depois do primeiro 1 também é igual a . Então, podemos reescrever a equação assim:
Isso simplifica nosso trabalho porque agora temos uma equação que envolve de forma mais direta.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Primeiro, vamos eliminar a fração multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Isso nos dá uma equação quadrática:

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
No nosso caso, os coeficientes são:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Como estamos falando de uma fração contínua que representa um número positivo, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:

Resposta

Assim, mostramos que:

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