Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que
é igual a uma fração contínua infinita de 1’s, ou seja:
Vamos usar conceitos de frações contínuas e equações quadráticas para resolver isso. Precisamos entender como representar uma fração contínua como uma equação que podemos resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar essa fração contínua de
. Assim, temos:
Perceba que a parte que está depois do primeiro 1 também é igual a
. Então, podemos reescrever a equação assim:
Isso simplifica nosso trabalho porque agora temos uma equação que envolve
de forma mais direta.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, vamos eliminar a fração multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Isso nos dá uma equação quadrática:
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
No nosso caso, os coeficientes são:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Como estamos falando de uma fração contínua que representa um número positivo, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Suponha que a sequência
satisfaz
para todo
e
para
. Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.
Se
, mostre que toda subsequência de
converge para
.
a)Se
e
são positivos, prove que
b)(Teorema de Stolz)
Seja
uma sequência arbitrária de números reais e
uma sequência crescente com
. Supondo que
, mostre que
.
Se
uma sequência de números reais tal que
. A Série
converge? Justifique!