Questão: (14 pontos) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Podemos reescrever a série da seguinte forma:
Aqui, percebemos que a série é uma série de potências na forma geral:
onde
e
.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência
, vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular
an+1an = 3^n+1raizn+13^nraizn = 3 cdot raiznraizn+1 :
Agora, multiplicamos essa razão pela parte que envolve
:
Passo 5
Calculamos o limite quando
L = limn to infty 3 cdot raiznraizn+1 cdot |x + 4| = 3 cdot 1 cdot |x + 4| = 3|x + 4| tende ao infinito:
Para a série convergir, precisamos que
:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que
- 13 < x + 4 < 13 deve estar no intervalo:
Subtraindo 4 de todos os lados:
Simplificando:
Passo 7
O raio de convergência
R = 13 é a distância do centro do intervalo (
) até uma das extremidades. Observando a desigualdade
, vemos que:
Passo 8
Agora, vamos verificar os pontos extremos do intervalo para determinar o intervalo de convergência completo.
-
Para
:sumn=2^infty 3^n(-133 + 4)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(-13 + 123)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(-13)^nraizn = sumn=2^infty (-1)^nraizn Substituindo na série:sumn=2^infty 3^n(-113 + 4)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(-11 + 123)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(13)^nraizn = sumn=2^infty 1raizn Esta é uma série alternada da forma , que converge por ser uma série alternada onde é decrescente e tende a zero. -
Para
:Substituindo na série:Esta é uma série p com , que diverge porque .
Resposta
O raio de convergência da série é
[ -133, -113 ) e o intervalo de convergência é:
Isso significa que a série converge para todos os valores de
entre
e
, incluindo
mas excluindo
.
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