3^ an Questão: (14 pontos) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=2^infty 3^n(x+4)^nraizn

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=2^infty 3^n(x+4)^nraizn
Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Podemos reescrever a série da seguinte forma:
sumn=2^infty 3^n(x+4)^nraizn = sumn=2^infty (3(x+4))^nraizn
Aqui, percebemos que a série é uma série de potências na forma geral:
sumn=0^infty an (x - c)^n
onde e .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência L = limn to infty | an+1an |, vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = 3^n+1raizn+13^nraizn = 3 cdot raiznraizn+1:
| an+1an | cdot |x + 4| = 3 cdot raiznraizn+1 cdot |x + 4|
Agora, multiplicamos essa razão pela parte que envolve :

Passo 5

Calculamos o limite quando L = limn to infty 3 cdot raiznraizn+1 cdot |x + 4| = 3 cdot 1 cdot |x + 4| = 3|x + 4| tende ao infinito:
3|x + 4| < 1
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
|x + 4| < 13
Isso significa que - 13 < x + 4 < 13 deve estar no intervalo:
-4 - 13 < x < -4 + 13
Subtraindo 4 de todos os lados:
- 133 < x < - 113
Simplificando:

Passo 7

O raio de convergência R = 13 é a distância do centro do intervalo ( ) até uma das extremidades. Observando a desigualdade , vemos que:

Passo 8

Agora, vamos verificar os pontos extremos do intervalo para determinar o intervalo de convergência completo.
  1. Para sumn=2^infty 3^n(-133 + 4)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(-13 + 123)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(-13)^nraizn = sumn=2^infty (-1)^nraizn:
    Substituindo na série:
    sumn=2^infty 3^n(-113 + 4)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(-11 + 123)^nraizn = sumn=2^infty 3^n(13)^nraizn = sumn=2^infty 1raizn
    Esta é uma série alternada da forma , que converge por ser uma série alternada onde é decrescente e tende a zero.
  2. Para :
    Substituindo na série:
    Esta é uma série p com , que diverge porque .

Resposta

O raio de convergência da série é [ -133, -113 ) e o intervalo de convergência é:
Isso significa que a série converge para todos os valores de entre e , incluindo mas excluindo .

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