Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular da equação diferencial dada, considerando a condição inicial
. A equação que temos é:
Vamos precisar usar equações diferenciais exatas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Perceba que
deveria depender apenas de
, mas temos termos com
. Isso indica que
na verdade é uma constante, e podemos ajustar a função
para:
Passo 6
Então, a solução geral da equação é dada por:
Substituindo
:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, vamos chamar
de outra constante, digamos
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
. Substituindo na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Com
, a solução particular fica:
Para encontrar
em função de
, isolamos
:
Isso implica que
, já que substituindo
na equação original satisfaz a condição inicial.
Resposta
A solução particular é
.
Exercícios relacionados
(a) (13 pontos)
ou diverge.
Dica: No exercício 4, calcule as derivadas parciais da funçāo
e mostre que são contínuas.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.
.
Verifique que a função dada é diferenciável. Justifique.