Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. sen(x) cos(y) dx + cos(x) sen(y) dy = 0, y(pi/4) = pi/4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular da equação diferencial dada, considerando a condição inicial . A equação que temos é:
Vamos precisar usar equações diferenciais exatas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Podemos escrever a equação na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Perceba que deveria depender apenas de , mas temos termos com . Isso indica que na verdade é uma constante, e podemos ajustar a função para:

Passo 6

Então, a solução geral da equação é dada por:
Substituindo :
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, vamos chamar de outra constante, digamos :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial . Substituindo na equação:
Sabemos que , então:

Passo 8

Com , a solução particular fica:
Para encontrar em função de , isolamos :
Isso implica que , já que substituindo na equação original satisfaz a condição inicial.

Resposta

A solução particular é .

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