4^a Questão: (13 pontos) Verifique se a série sumn=1^infty (-2)^n cdot sen(n)(n+1) 4^n-1 converge absolutamente, converge condicionalmente
ou diverge.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a convergência absoluta da série. Isso significa que precisamos verificar se a série dos valores absolutos converge. Então, vamos considerar:
sumn=1^infty | (-2)^n cdot sen(n)(n+1) 4^n-1 |

Passo 3

Calculando o valor absoluto, temos:
| (-2)^n | = 2^n e | sen(n) | <= 1
Portanto, a série dos valores absolutos fica:

Passo 4

Simplificando a expressão, observamos que 2^n(n+1) cdot 4^n4 = 4 cdot 2^n(n+1) cdot 4^n = 4n+1 ( 24 )^n = 4n+1 ( 12 )^n . Substituindo:

Passo 5

Agora, temos a série:
4 sumn=1^infty 1n+1 ( 12 )^n
Essa é uma série que envolve uma razão geométrica e um termo adicional . Sabemos que a série geométrica converge, pois a razão .

Passo 6

Como é uma função que diminui e é positiva para todo , podemos comparar nossa série com a série geométrica convergente. Pelo Teste da Comparação, já que é menor que , então a nossa série original de valores absolutos também converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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