Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que é exata, precisamos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na função potencial
:
Passo 8
A solução geral da equação será
, onde
é uma constante. Assim:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Finalmente, substituímos
na solução geral:
Podemos rearranjar para deixar a solução explícita:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial
, é:
Exercícios relacionados
Avalie as integrais abaixo:
(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
(b) Find one solution of the form
© Find a second solution using the method of reduction of order.
(a) (13 pontos)