Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. (4 x^3 - sen(x) + y^3) dx - (y^2 + 1 - 3 x y^2) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que é exata, precisamos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Vamos integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na função potencial :

Passo 8

A solução geral da equação será , onde é uma constante. Assim:

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Finalmente, substituímos na solução geral:
Podemos rearranjar para deixar a solução explícita:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz a condição inicial , é:

Exercícios relacionados

Avalie as integrais abaixo:
integralpi3^2 pi3 cossec^2(12 t^2) d t
t^2 y^prime prime+t y^prime-(1+t) y=0
(a) Show that r=-1 and r=1 are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
y1(t)=t sumn=0^infty an t^n
© Find a second solution using the method of reduction of order.
1^ an Questão: Calcule as integrais a seguir:
(a) (13 pontos) integral0^pi x cos (5 x) d x
3^ an Questão: (14 pontos) Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=2^infty 3^n(x+4)^nraizn