1^ an Questão: Calcule as integrais a seguir:
(a) (13 pontos) integral0^pi x cos (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa técnica e lembrar como integrar funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral será integral u , dv = u , v - integral v , du e qual será u = x e dv = cos(5x) , dx na fórmula de integração por partes. A fórmula é:
Aqui, é uma boa ideia escolher como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx (x) , dx = 1 , dx e v = integral cos(5x) , dx = 15 sin(5x) :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cos(5x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot ( 15 sin(5x) ) - integral ( 15 sin(5x) ) cdot 1 , dx
= x5 sin(5x) - 15 integral sin(5x) , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral sin(5x) , dx = -15 cos(5x) + C :
= x5 sin(5x) - 15 ( -15 cos(5x) ) + C
Substituindo de volta:
= x5 sin(5x) + 125 cos(5x) + C

Passo 6

Agora, precisamos calcular o valor definido da integral de [ x5 sin(5x) + 125 cos(5x) ]0^pi a pi5 sin(5pi) + 125 cos(5pi) = pi5 cdot 0 + 125 cdot (-1) = -125 :
05 sin(0) + 125 cos(0) = 0 + 125 cdot 1 = 125
Vamos substituir os limites:
Para :
Para :

Resposta

Assim, o valor da integral definida é:
-125 - 125 = -225

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