Avalie as integrais abaixo:
integralpi3^2 pi3 cossec^2(12 t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral definida da função cossec^2(12 t^2) no intervalo de pi3 até 2 pi3. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especialmente lidando com integrais de funções trigonométricas compostas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos tentar simplificar essa integral usando substituição. Vamos definir uma nova variável para facilitar a coisa. Seja u = 12 t^2. Assim, precisamos encontrar a expressão para du em termos de dt.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a t:
du = ddt(12 t^2) dt = t , dt
Agora, queremos expressar dt em termos de du. Isolando dt na equação acima:
dt = dut

Passo 4

Substituindo u e dt na integral original:
integralpi3^2 pi3 cossec^2(12 t^2) dt = integralu(pi3)^u(2 pi3) cossec^2(u) cdot dut
Mas, aqui temos um problema: ainda temos um t na expressão, e ele está em termos de u. Precisamos expressar t em termos de u para que tudo esteja em função de u.

Passo 5

Como u = 12 t^2, podemos resolver para t:
t = raiz2u
Substituindo de volta na integral:
integralu(pi3)^u(2 pi3) cossec^2(u) cdot duraiz2u

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração em termos de u:
Para t = pi3:
u = 12 (pi3)^2 = pi^218
Para t = 2 pi3:
u = 12 (2 pi3)^2 = 2 pi^29

Passo 7

Substituindo os limites na integral:
integralpi^218^2 pi^29 cossec^2(u)raiz2u , du

Passo 8

Observamos que a integral resultante ainda é bastante complicada e não corresponde a uma forma conhecida que possa ser integrada usando funções elementares. Portanto, essa integral não pode ser expressa em termos de funções básicas que conhecemos.

Resposta

A integral integralpi3^2 pi3 cossec^2(12 t^2) d t não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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