Avalie as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral definida da função
no intervalo de
até
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especialmente lidando com integrais de funções trigonométricas compostas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender as derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos tentar simplificar essa integral usando substituição. Vamos definir uma nova variável para facilitar a coisa. Seja
. Assim, precisamos encontrar a expressão para
em termos de
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, queremos expressar
em termos de
. Isolando
na equação acima:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Mas, aqui temos um problema: ainda temos um
na expressão, e ele está em termos de
. Precisamos expressar
em termos de
para que tudo esteja em função de
.
Passo 5
Como
, podemos resolver para
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração em termos de
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo os limites na integral:
Passo 8
Observamos que a integral resultante ainda é bastante complicada e não corresponde a uma forma conhecida que possa ser integrada usando funções elementares. Portanto, essa integral não pode ser expressa em termos de funções básicas que conhecemos.
Resposta
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares.
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(a) Show that
and
are the two roots of the indicial equation.
(b) Find one solution of the form
(b) Find one solution of the form
© Find a second solution using the method of reduction of order.
Encontre
, justificando todas as suas passagens.
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
(a) (13 pontos)