a1 = 2 e an+1 = (1/2)(an + 4), n ≥ 1
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o 101 graus termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de uma sequência definida por e para . O conteúdo principal aqui envolve progressões recorrentes e conceitos de monotonicidade e convergência. Para resolver, vamos precisar calcular termos da sequência, analisar se ela está sempre aumentando ou diminuindo, e verificar se ela se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Parte (a): Determinar os cinco primeiros termos e o º termo da sequência.
Vamos calcular os termos passo a passo usando a fórmula dada.
  1. Termo 1: (já dado).
  2. Termo 2: .
  3. Termo 3: .
  4. Termo 4: .
  5. Termo 5: .
Para encontrar o º termo, observamos que a sequência está se aproximando de um valor fixo. Vamos encontrar esse valor.

Passo 3

Calculando o limite da sequência para encontrar o º termo.
Assumindo que a sequência converge para um valor , então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso indica que, à medida que os termos aumentam, eles se aproximam de 4. Assim, o º termo estará muito próximo de 4.

Passo 4

Parte (b): Verificar se a sequência é monótona.
Para ser monótona crescente, cada termo deve ser maior ou igual ao anterior. Observando os primeiros termos:
Podemos ver que cada termo está aumentando. Além disso, a fórmula sempre adiciona um valor positivo, garantindo que a sequência continue crescendo em direção a 4. Portanto, a sequência é monótona crescente.

Passo 5

Parte ©: Verificar se a sequência é convergente.
Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um valor específico à medida que aumenta. Já vimos no Passo 3 que a sequência tende a 4. Além disso, como é monótona crescente e está limitada superiormente por 4, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência é convergente.

Resposta

(a) Os cinco primeiros termos são , , , , e o º termo é aproximadamente .
(b) A sequência é monótona crescente.
© A sequência é convergente, com limite igual a .

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