(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o
termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata de uma sequência definida por
e
para
. O conteúdo principal aqui envolve progressões recorrentes e conceitos de monotonicidade e convergência. Para resolver, vamos precisar calcular termos da sequência, analisar se ela está sempre aumentando ou diminuindo, e verificar se ela se aproxima de um valor específico.
Passo 2
Parte (a): Determinar os cinco primeiros termos e o
termo da sequência.
Vamos calcular os termos passo a passo usando a fórmula dada.
- Termo 1:
(já dado). - Termo 2:
. - Termo 3:
. - Termo 4:
. - Termo 5:
.
Para encontrar o
termo, observamos que a sequência está se aproximando de um valor fixo. Vamos encontrar esse valor.
Passo 3
Calculando o limite da sequência para encontrar o
termo.
Assumindo que a sequência converge para um valor
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso indica que, à medida que os termos aumentam, eles se aproximam de 4. Assim, o
termo estará muito próximo de 4.
Passo 4
Parte (b): Verificar se a sequência é monótona.
Para ser monótona crescente, cada termo deve ser maior ou igual ao anterior. Observando os primeiros termos:
Podemos ver que cada termo está aumentando. Além disso, a fórmula
sempre adiciona um valor positivo, garantindo que a sequência continue crescendo em direção a 4. Portanto, a sequência é monótona crescente.
Passo 5
Parte ©: Verificar se a sequência é convergente.
Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um valor específico à medida que
aumenta. Já vimos no Passo 3 que a sequência tende a 4. Além disso, como é monótona crescente e está limitada superiormente por 4, pelo Teorema da Convergência Monótona, a sequência é convergente.
Resposta
(a) Os cinco primeiros termos são
,
,
,
,
e o
termo é aproximadamente
.
(b) A sequência é monótona crescente.
© A sequência é convergente, com limite igual a
.