(a) A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
(b) A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que cada parte do exercício está pedindo. Na letra (a), precisamos verificar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar o limite dessa sequência. O conteúdo envolvido aqui inclui sequências numéricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona o comportamento de funções logarítmicas e de sequências alternadas.
Já na letra (b), temos que analisar a série e determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso envolve o entendimento de convergência de séries, especialmente séries alternadas e testes de convergência como o teste da série alternada e o teste da série de termos positivos.

Passo 2

Vamos começar pela letra (a). A sequência dada é . Primeiro, notamos que faz a sequência alternar entre positivo e negativo conforme aumenta. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador . O logaritmo natural, , aumenta sem limite conforme cresce. Isso significa que, à medida que fica maior, também fica maior, fazendo com que fique cada vez menor, ou seja, tende a zero.

Passo 4

Uma sequência que alterna sinais e cujos valores absolutos tendem a zero pode convergir para zero. Formalmente, usamos o Teorema do Limite de uma Sequência Alternada, que diz que se e é uma sequência alternada, então .

Passo 5

Aplicando esse teorema à nossa sequência , vemos que . Portanto, a sequência converge e o seu limite é 0.

Passo 6

Agora, vamos para a letra (b). Queremos saber se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Primeiro, verificamos a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Precisamos verificar se essa série converge.

Passo 7

Para testar a convergência da série , podemos usar o Teste da Integral. Avaliamos a integral:
Infelizmente, essa integral diverge porque cresce mais lentamente que qualquer potência de , mas ainda assim tende ao infinito. Portanto, a série diverge, o que significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 8

Apesar da série não ser absolutamente convergente, ela pode ser condicionalmente convergente se satisfizer o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se uma série alternada satisfaz:
  1. para todo ,
  2. ,
  3. é decrescente,
então a série é condicionalmente convergente.

Passo 9

Aplicando ao nosso caso:
  1. para ,
  2. ,
  3. é decrescente porque aumenta conforme aumenta.
Portanto, a série é condicionalmente convergente.

Resposta

(a) A sequência converge e seu limite é 0.
(b) A série é condicionalmente convergente.

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