(a) ( ) Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
(b) ( ) Uma série de potências pode convegir em apenas dois valores .
© ( ) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
(d) ( ) Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
(e) ( )Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
(f) ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .
(g) ( ) Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre séries de potências e convergência. O que a gente tem aqui são várias afirmações (de (a) a (g)) e precisamos analisar cada uma delas para ver se estão corretas ou não. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos básicos sobre séries de potências, raio de convergência, convergência absoluta e condicional. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Letra (a): Se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo .
Primeiro, lembrar que se a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. O teste da série absolutamente convergente implica convergência para todo dentro do raio de convergência. Mas aqui, a afirmação diz que se converge, então a série de potências converge absolutamente em . Isso está correto porque o raio de convergência seria pelo menos 1.
Conclusão: Verdadeiro.

Passo 3

Letra (b): Uma série de potências pode convergir em apenas dois valores .
Normalmente, uma série de potências converge em todo o intervalo e possivelmente em pontos nas extremidades. Dizer que converge em apenas dois pontos sugere um caso muito específico e não é a regra geral.
Conclusão: Falso.

Passo 4

Letra ©: Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.
Isso está relacionado com a simetria das séries de potências. Na verdade, a convergência em um extremo não garante a convergência no outro extremo. Exemplos existem onde a série converge em um extremo, mas não no outro.
Conclusão: Falso.

Passo 5

Letra (d): Se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional.
Se a série converge em um extremo e diverge no outro, a convergência no extremo onde converge pode ser absoluta ou condicional. A afirmação de que é condicional não é necessariamente verdadeira.
Conclusão: Falso.

Passo 6

Letra (e): Se é o raio de convergência de , então é o raio de convergência de .
Aqui, substituindo , a série se torna . O raio de convergência para seria , então para , seria .
Conclusão: Verdadeiro.

Passo 7

Letra (f): Se então o raio de convergência da série de potências é .
Isso é diretamente do teste da raiz, que determina o raio de convergência como quando é o limite superior da raiz enésima dos coeficientes.
Conclusão: Verdadeiro.

Passo 8

Letra (g): Se tem raio de convergência , então as séries e também têm raio de convergência .
Para a série derivada , o raio de convergência é o mesmo. Da mesma forma, para a série integral , o raio de convergência também permanece .
Conclusão: Verdadeiro.

Resposta

As afirmações corretas são as letras a), e), f) e g).

Exercícios relacionados

(a) A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
(b) A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
(a) Encontre a série de potências para a derivada e o raio de convergência.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)