(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .
(d) Calcule .
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O enunciado traz uma série de perguntas sobre sequências e somas parciais. A gente vai trabalhar com conceitos de séries, sequências, somas parciais, limites e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular somas parciais, manipular expressões com potências de 2, encontrar coeficientes reais que ajustem uma igualdade e finalmente verificar se a série converge e qual é a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os três primeiros termos da sequência das somas parciais. Mas, antes de mais nada, precisamos saber qual é a sequência original. Supondo que a sequência geral seja dada por , vamos calcular , e , que são as somas parciais até o primeiro, segundo e terceiro termos, respectivamente.
Cálculos:

Passo 3

Agora, vamos determinar os números reais e que satisfazem a equação:
Primeiro, vamos simplificar a expressão à direita:
Agora, igualamos ao lado esquerdo:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Rearranjando os termos:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:

Passo 4

Vamos achar uma fórmula para a sequência das somas parciais .
Sabemos que:
Usando a parte (b), reescrevemos :
Então:
Vamos simplificar cada soma separadamente.
Primeiro, a soma :
Podemos reescrever:
Sabemos que:
  • (fórmula de soma de uma série geométrica ponderada)
Portanto:
Agora, a segunda soma já sabemos que é .
Então, substituindo na expressão de :
Simplificando:
Portanto, a fórmula para é:

Passo 5

Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Observamos que tende a 0 quando vai para o infinito, porque o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente.
Portanto:

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se a série converge e, se sim, qual é a sua soma.
Sabendo que:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge. A soma da série é esse limite.

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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Use a propriedade polar para calcular o limite
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que .
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
(a) A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
(b) A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?