(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais A, B que nos permite escrever
1-n2^n+1=n+A2^n+1+B n2^n
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais Sn.
(d) Calcule lim n infty Sn.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O enunciado traz uma série de perguntas sobre sequências e somas parciais. A gente vai trabalhar com conceitos de séries, sequências, somas parciais, limites e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular somas parciais, manipular expressões com potências de 2, encontrar coeficientes reais que ajustem uma igualdade e finalmente verificar se a série converge e qual é a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os três primeiros termos da sequência das somas parciais. Mas, antes de mais nada, precisamos saber qual é a sequência original. Supondo que a sequência geral seja dada por , vamos calcular , e , que são as somas parciais até o primeiro, segundo e terceiro termos, respectivamente.
Cálculos:

Passo 3

Agora, vamos determinar os números reais 1 - n2^n+1 = n + A2^n+1 + B n2^n e n + A2^n+1 + B n2^n = n + A2^n+1 + 2 B n2^n+1 = n + A + 2 B n2^n+1 = n(1 + 2 B) + A2^n+1 que satisfazem a equação:
1 - n2^n+1 = n(1 + 2 B) + A2^n+1
Primeiro, vamos simplificar a expressão à direita:
1 - n = n(1 + 2 B) + A
Agora, igualamos ao lado esquerdo:
1 - n = n + 2 B n + A 1 = n + 2 B n + A + n 1 = n(1 + 2 B + 1) + A 1 = n(2 + 2 B) + A
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
0 = 2 + 2 B 2 B = -2 B = -1
Rearranjando os termos:
1 = A A = 1
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:

Passo 4

Vamos achar uma fórmula para a sequência das somas parciais Sn = sumk=1^n ak = sumk=1^n 1 - k2^k+1 .
Sabemos que:
ak = k + A2^k+1 + B k2^k = k + 12^k+1 - k2^k
Usando a parte (b), reescrevemos Sn = sumk=1^n ( k + 12^k+1 - k2^k ) = sumk=1^n k + 12^k+1 - sumk=1^n k2^k :
sumk=1^n k + 12^k+1 = 12 sumk=1^n k + 12^k = 12 ( sumk=1^n k2^k + sumk=1^n 12^k )
Então:
12 ( 2 - n + 22^n + 1 - 12^n ) = 12 ( 3 - n + 32^n ) = 32 - n + 32^n+1
Vamos simplificar cada soma separadamente.
Primeiro, a soma Sn = ( 32 - n + 32^n+1 ) - ( 2 - n + 22^n ) = 32 - 2 - n + 32^n+1 + n + 22^n :
Podemos reescrever:
Sn = -12 - n + 32^n+1 + 2(n + 2)2^n+1 = -12 + 2(n + 2) - (n + 3)2^n+1 = -12 + n + 12^n+1
Sabemos que:
  • Sn = -12 + n + 12^n+1 (fórmula de soma de uma série geométrica ponderada)
Portanto:
Agora, a segunda soma já sabemos que é .
Então, substituindo na expressão de :
Simplificando:
Portanto, a fórmula para é:

Passo 5

Vamos calcular o limite de limn to infty Sn = limn to infty ( -12 + n + 12^n+1 ) quando limn to infty Sn = -12 + 0 = -12 tende ao infinito:
Observamos que tende a 0 quando vai para o infinito, porque o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente.
Portanto:

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se a série converge e, se sim, qual é a sua soma.
Sabendo que:
limn to infty Sn = -12
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge. A soma da série é esse limite.

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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