(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais
que nos permite escrever
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
(d) Calcule
.
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(b) Determine os números reais
(d) Calcule
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O enunciado traz uma série de perguntas sobre sequências e somas parciais. A gente vai trabalhar com conceitos de séries, sequências, somas parciais, limites e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular somas parciais, manipular expressões com potências de 2, encontrar coeficientes reais que ajustem uma igualdade e finalmente verificar se a série converge e qual é a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os três primeiros termos da sequência das somas parciais. Mas, antes de mais nada, precisamos saber qual é a sequência original. Supondo que a sequência geral seja dada por
, vamos calcular
,
e
, que são as somas parciais até o primeiro, segundo e terceiro termos, respectivamente.
Cálculos:
Passo 3
Agora, vamos determinar os números reais
e
que satisfazem a equação:
Primeiro, vamos simplificar a expressão à direita:
Agora, igualamos ao lado esquerdo:
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Rearranjando os termos:
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais:
-
Coeficiente de
: -
Termo constante:
Passo 4
Vamos achar uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
Sabemos que:
Usando a parte (b), reescrevemos
:
Então:
Vamos simplificar cada soma separadamente.
Primeiro, a soma
:
Podemos reescrever:
Sabemos que:
-
(fórmula de soma de uma série geométrica ponderada) -
Portanto:
Agora, a segunda soma
já sabemos que é
.
Então, substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Portanto, a fórmula para
é:
Passo 5
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Observamos que
tende a 0 quando
vai para o infinito, porque o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente.
Portanto:
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se a série converge e, se sim, qual é a sua soma.
Sabendo que:
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge. A soma da série é esse limite.
Resposta
A série converge e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Use a propriedade polar para calcular o limite
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o
termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
(a) A sequência
é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
(b) A série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
(b) A série