Use a propriedade polar para calcular o limite
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)1-cos (raizx^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a propriedade polar. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites em duas variáveis. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)1-cos (raizx^2+y^2) e . Assim, e .

Passo 2

Vamos reescrever a expressão original em termos de sen(r^2)1-cos(r) :
Agora, o limite se torna:

Passo 3

Vamos lembrar das aproximações para funções trigonométricas quando r^2r^22 = 2 está próximo de 0:
  • para r pequeno.
  • para r pequeno.
Aplicando essas aproximações na nossa expressão:
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento quando tende a 0. As aproximações que usamos são válidas para muito pequeno, então a expressão se aproxima de 2 à medida que vai para 0.

Resposta

O limite é igual a .

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