Use a propriedade polar para calcular o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a propriedade polar. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites em duas variáveis. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
e
.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão original em termos de
:
Agora, o limite se torna:
Passo 3
Vamos lembrar das aproximações para funções trigonométricas quando
está próximo de 0:
- para r pequeno.
-
para r pequeno.
Aplicando essas aproximações na nossa expressão:
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento quando
tende a 0. As aproximações que usamos são válidas para
muito pequeno, então a expressão se aproxima de 2 à medida que
vai para 0.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que
.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por
e
é convergente;
(i) ( ) Se , tal que
é convergente, então
é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e
, então
converge;
(l) ( ) Se e
divergem, então
diverge;
(m) ( ) Se converge, então
converge;
(n) ( ) Se e
divergem, então
converge;
(o) ( ) Se diverge, então
;
§ ( ) Se diverge, então
diverge;
(q) ( ) Se diverge e
, então
converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então
diverge;
(s) ( ) Se e
diverge, então
diverge.
(t) ( ) Se e
converge, então
converge.
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se
(h) ( ) A sequência
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então
(k) ( ) Se
(l) ( ) Se
(m) ( ) Se
(n) ( ) Se
(o) ( ) Se
§ ( ) Se
(q) ( ) Se
® ( ) Se
(s) ( ) Se
(t) ( ) Se
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
(b) Determine os números reais
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
(d) Calcule .
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(d) Calcule
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o
termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!