Use a propriedade polar para calcular o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite usando a propriedade polar. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites em duas variáveis. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
e
.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão original em termos de
:
Agora, o limite se torna:
Passo 3
Vamos lembrar das aproximações para funções trigonométricas quando
está próximo de 0:
- para r pequeno.
-
para r pequeno.
Aplicando essas aproximações na nossa expressão:
Então, a expressão fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento quando
tende a 0. As aproximações que usamos são válidas para
muito pequeno, então a expressão se aproxima de 2 à medida que
vai para 0.
Resposta
O limite é igual a
.