Use a propriedade polar para calcular o limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando a propriedade polar. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites em duas variáveis. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, e .

Passo 2

Vamos reescrever a expressão original em termos de :
Agora, o limite se torna:

Passo 3

Vamos lembrar das aproximações para funções trigonométricas quando está próximo de 0:
  • para r pequeno.
  • para r pequeno.
Aplicando essas aproximações na nossa expressão:
Então, a expressão fica aproximadamente:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento quando tende a 0. As aproximações que usamos são válidas para muito pequeno, então a expressão se aproxima de 2 à medida que vai para 0.

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

(b) Use o resultado do item (a) para mostrar que .
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
© ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) ( ) Se e são sequências tais que , então a é convergente;
(h) ( ) A sequência definida por e é convergente;
(i) ( ) Se , tal que é convergente, então é convergente;
(j) ( ) Se (|ant) é convergente, então é convergente;
(k) ( ) Se converge e , então converge;
(l) ( ) Se e divergem, então diverge;
(m) ( ) Se converge, então converge;
(n) ( ) Se e divergem, então converge;
(o) ( ) Se diverge, então ;
§ ( ) Se diverge, então diverge;
(q) ( ) Se diverge e , então converge;
® ( ) Se é uma sequência constante, então diverge;
(s) ( ) Se e diverge, então diverge.
(t) ( ) Se e converge, então converge.
(a) Encontre os três primeiros termos da sequência das somas parciais.
(b) Determine os números reais que nos permite escrever
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais .
(d) Calcule .
(e) A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
(a) Determine os cinco primeiros termos desta sequência e o termo.
(b) A sequência é monótona? Justifique!
© A sequência é convergente? Justifique!