Analisar se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira. Caso seja falsa, apresente um contraexemplo: x/(x+y)=1/y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade é verdadeira. Vamos usar conceitos de equações algébricas para analisar essa afirmação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a igualdade está dizendo. Queremos saber se, para quaisquer valores de x e y (com y ≠ 0 e ), essa equação é válida.

Passo 3

Vamos resolver a equação para ver se ela é verdadeira para todos os valores de x e y. Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados, temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos tentar isolar x na equação . Subtraindo x de ambos os lados, ficamos com:
Fatorando x na esquerda, obtemos:
Então, isolando x:

Passo 6

Chegamos à conclusão de que . Isso significa que a igualdade só é verdadeira quando x e y satisfazem essa relação específica. Portanto, a igualdade não é válida para todos os valores de x e y.

Passo 7

Para confirmar que a igualdade nem sempre é verdadeira, vamos escolher um exemplo específico. Vamos selecionar e calcular x:
Agora, verificamos a igualdade com x = 2 e :
E,
Nesse caso, a igualdade é verdadeira. Mas vamos escolher outro exemplo para ver se sempre funciona.
Escolha e x = 1:
E,
Como , a igualdade não é verdadeira para esses valores.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, para x = 1 e , temos .

Exercícios relacionados