Analisar a continuidade de g(t) . f(t) em t = 0. Se
g(t) = { (|t-3|)/(t-3) * j + t^2 * i, t ≠ 3; 0, t = 3 }
e
f(t) = { t * sen(1/t) * i + cos(t) * j, t ≠ 0; j, t = 0 }

Passo 1

Então, a gente precisa verificar se a continuidade da multiplicação escalar (dot product) entre as funções vetoriais e é mantida em . Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de continuidade de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre duas funções vetoriais. Se tivermos e , então:

Passo 3

Vamos identificar as componentes das funções e :

Passo 4

Para , o produto escalar fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 0:
Analisando cada termo separadamente:
  1. : Sabemos que , então . Como , pelo Teorema do Aperto, temos .
  2. : Para próximo de 0, , então . Portanto:

Passo 6

Somando os limites dos dois termos:
Agora, vamos verificar o valor da função no ponto :
Portanto:

Resposta

Como o limite de quando é igual ao valor da função no ponto , concluímos que é contínuo em .

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