Analisar a continuidade de
em
. Se
e
Passo 1
Então, a gente precisa verificar se a continuidade da multiplicação escalar (dot product) entre as funções vetoriais
e
é mantida em
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de continuidade de funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre duas funções vetoriais. Se tivermos
e
, então:
Passo 3
Vamos identificar as componentes das funções
e
:
Passo 4
Para
, o produto escalar fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0:
Analisando cada termo separadamente:
-
: Sabemos que , então . Como
, pelo Teorema do Aperto, temos . -
: Para próximo de 0, , então . Portanto:
Passo 6
Somando os limites dos dois termos:
Agora, vamos verificar o valor da função no ponto
:
Portanto:
Resposta
Como o limite de
quando
é igual ao valor da função no ponto
, concluímos que
é contínuo em
.
Exercícios relacionados
Representar o domínio das seguintes funções graficamente e encontrar as curvas de nivel
:
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo
o círculo do plano
, com centro em
e raio
. [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos
e
mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e
.
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
Calcule
, onde B é a região limitada por
e
. ( calor
)
Determinc a área da parte da esfera
que cstá acima do plano
. (valor : 2.0 )