Analisar a continuidade de em . Se
e

Passo 1

Então, a gente precisa verificar se a continuidade da multiplicação escalar (dot product) entre as funções vetoriais e é mantida em . Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de continuidade de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre duas funções vetoriais. Se tivermos e , então:

Passo 3

Vamos identificar as componentes das funções e :

Passo 4

Para , o produto escalar fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de 0:
Analisando cada termo separadamente:
  1. : Sabemos que , então . Como , pelo Teorema do Aperto, temos .
  2. : Para próximo de 0, , então . Portanto:

Passo 6

Somando os limites dos dois termos:
Agora, vamos verificar o valor da função no ponto :
Portanto:

Resposta

Como o limite de quando é igual ao valor da função no ponto , concluímos que é contínuo em .

Exercícios relacionados

Representar o domínio das seguintes funções graficamente e encontrar as curvas de nivel :
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo o círculo do plano , com centro em e raio . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos e mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e .
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
Calcule , onde B é a região limitada por e . ( calor )
Determinc a área da parte da esfera que cstá acima do plano . (valor : 2.0 )