Representar o domínio das seguintes funções graficamente e encontrar as curvas de nivel :

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos fazer duas coisas:
  1. Representar o domínio dessa função graficamente.
  2. Encontrar as curvas de nível para .
Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e curvas de nível para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
A função exponencial está definida para qualquer número real, mas temos que prestar atenção na fração . Para que essa fração exista, o denominador não pode ser zero. Se , a expressão fica indefinida.
Portanto, o domínio da função é todo o plano onde .

Passo 3

Agora, vamos representar graficamente o domínio. Como vimos, não pode ser zero. No plano , a linha onde é o eixo .
Então, o domínio é todo o plano menos o eixo . Visualmente, é como pintar todo o papel, mas deixando a linha do eixo sem tinta.

Passo 4

Vamos agora encontrar as curvas de nível para . As curvas de nível são as linhas onde a função assume um valor constante .
Então, precisamos resolver a equação:
Vamos resolver para cada valor de :
  1. Para :
    A função exponencial sempre dá valores positivos, então não existe solução real para . Logo, não existe.
  2. Para :
    Novamente, a função exponencial nunca é zero. Então, também não existe.
  3. Para :
    Sabemos que , então:
    Portanto, é a linha vertical no plano .
  4. Para :
    Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
    Então, é a linha reta no plano .

Resposta

  • Domínio: Todos os pontos no plano com (isto é, todo o plano menos o eixo ).
  • Curvas de nível:
    • : Não existe.
    • : Não existe.
    • : A reta vertical .
    • : A reta .

Exercícios relacionados

(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo o círculo do plano , com centro em e raio . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos e mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e .
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm constante e quais têm constante.
9.
Analisar a continuidade de em . Se
e
Calcule , onde B é a região limitada por e . ( calor )