Representar o domínio das seguintes funções graficamente e encontrar as curvas de nivel
:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos fazer duas coisas:
- Representar o domínio dessa função graficamente.
- Encontrar as curvas de nível para
.
Vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio e curvas de nível para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida.
A função exponencial
está definida para qualquer número real, mas temos que prestar atenção na fração
. Para que essa fração exista, o denominador
não pode ser zero. Se
, a expressão
fica indefinida.
Portanto, o domínio da função é todo o plano
onde
.
Passo 3
Agora, vamos representar graficamente o domínio. Como vimos,
não pode ser zero. No plano
, a linha onde
é o eixo
.
Então, o domínio é todo o plano menos o eixo
. Visualmente, é como pintar todo o papel, mas deixando a linha do eixo
sem tinta.
Passo 4
Vamos agora encontrar as curvas de nível
para
. As curvas de nível são as linhas onde a função assume um valor constante
.
Então, precisamos resolver a equação:
Vamos resolver para cada valor de
:
-
Para
: A função exponencial sempre dá valores positivos, então não existe solução real para. Logo, não existe. -
Para
: Novamente, a função exponencial nunca é zero. Então,também não existe. -
Para
: Sabemos que, então: Portanto,é a linha vertical no plano . -
Para
: Tomando o logaritmo natural dos dois lados:Então,é a linha reta no plano .
Resposta
-
Domínio: Todos os pontos
no plano com (isto é, todo o plano menos o eixo ). -
Curvas de nível:
-
: Não existe. -
: Não existe. -
: A reta vertical . -
: A reta .
-
Exercícios relacionados
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo
o círculo do plano
, com centro em
e raio
. [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos
e
mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de e
.
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre esta impressão quais são as curvas da grade que têm
constante e quais têm
constante.
9.
9.
Analisar a continuidade de
em
. Se
e
Calcule
, onde B é a região limitada por
e
. ( calor
)