(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo
o círculo do plano
, com centro em
e raio
. [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos
e
mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de
e
.
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício dividido em três partes sobre toros, que são superfícies tridimensionais fascinantes. A gente vai precisar entender um pouco de geometria espacial e usar equações paramétricas para resolver isso. Vamos usar os ângulos
e
como parâmetros para descrever o toro.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar as equações paramétricas do toro quando giramos um círculo no plano
em torno do eixo
. O círculo tem centro em
e raio
, onde
.
Imagine o círculo no plano
. Para descrever esse círculo, podemos usar o ângulo
, que percorre de
a
. As coordenadas paramétricas desse círculo seriam:
Aqui,
porque o círculo está inicialmente no plano
.
Agora, para girar esse círculo em torno do eixo
, usamos o ângulo
. Esse giro afeta as coordenadas
e
. Então, usamos
para rotacionar as coordenadas
e
:
Assim, temos a representação paramétrica completa do toro usando os ângulos
e
.
Passo 3
Passando para a parte (b), queremos traçar o gráfico do toro para diversos valores de
e
. Já que temos as equações paramétricas, podemos usar softwares de matemática como o GeoGebra, MATLAB ou Python com matplotlib para plotar o toro.
Basta definir uma grade de valores para
e
entre
e
, e para cada par
, calcular as coordenadas
usando as equações que encontramos. Variando
e
, você poderá visualizar diferentes tamanhos e formas de toros.
Passo 4
Finalmente, na parte ©, queremos encontrar a área do toro usando a representação paramétrica. A área de uma superfície paramétrica pode ser calculada usando a integral dupla da magnitude do produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação aos parâmetros.
Para o nosso toro, temos:
Calculamos as derivadas parciais
e
:
O produto vetorial
resulta em:
A magnitude desse vetor é:
Então, a área
do toro é:
Resposta
(a) A representação paramétrica do toro é dada por:
onde
.
(b) Utilizando essas equações paramétricas, você pode plotar o toro variando os valores de
e
em um software de matemática para visualizar diferentes formas de toros.
© A área do toro é:
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:
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em
. Se
e