(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo z o círculo do plano x z, com centro em (b, 0, 0) e raio a < b. [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos theta e alpha mostrados na figura.]
(b) Use as equações paramétricas encontradas na parte (a) para traçar o gráfico do toro para diversos valores de a e b.
© Use a representação paramétrica da parte (a) para achar a área do toro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício dividido em três partes sobre toros, que são superfícies tridimensionais fascinantes. A gente vai precisar entender um pouco de geometria espacial e usar equações paramétricas para resolver isso. Vamos usar os ângulos e como parâmetros para descrever o toro.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar as equações paramétricas do toro quando giramos um círculo no plano em torno do eixo . O círculo tem centro em e raio , onde .
Imagine o círculo no plano . Para descrever esse círculo, podemos usar o ângulo , que percorre de a . As coordenadas paramétricas desse círculo seriam:
Aqui, porque o círculo está inicialmente no plano .
Agora, para girar esse círculo em torno do eixo , usamos o ângulo . Esse giro afeta as coordenadas e . Então, usamos para rotacionar as coordenadas e :
Assim, temos a representação paramétrica completa do toro usando os ângulos e .

Passo 3

Passando para a parte (b), queremos traçar o gráfico do toro para diversos valores de e . Já que temos as equações paramétricas, podemos usar softwares de matemática como o GeoGebra, MATLAB ou Python com matplotlib para plotar o toro.
Basta definir uma grade de valores para e entre e , e para cada par , calcular as coordenadas usando as equações que encontramos. Variando e , você poderá visualizar diferentes tamanhos e formas de toros.

Passo 4

Finalmente, na parte ©, queremos encontrar a área do toro usando a representação paramétrica. A área de uma superfície paramétrica pode ser calculada usando a integral dupla da magnitude do produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação aos parâmetros.
Para o nosso toro, temos:
Calculamos as derivadas parciais e :
O produto vetorial resulta em:
A magnitude desse vetor é:
Então, a área do toro é:

Resposta

(a) A representação paramétrica do toro é dada por:
onde .
(b) Utilizando essas equações paramétricas, você pode plotar o toro variando os valores de e em um software de matemática para visualizar diferentes formas de toros.
© A área do toro é:

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