Calcule integral duplaB 1y^3+1 d A, onde B é a região limitada por y=raizx, y=2 e x=0. ( calor : 1,5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaB 1y^3+1 d A, onde a região B é limitada pelas curvas y = raizx, y = 2 e x = 0. Isso está relacionado a cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para as variáveis x e y com base nas curvas que delimitam a região B.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico das curvas que definem a região B para visualizar melhor os limites de integração. A curva y = raizx é uma parábola aberta para a direita, y = 2 é uma linha horizontal, e x = 0 é o eixo y. O ponto de interseção entre y = raizx e y = 2 ocorre quando raizx = 2, ou seja, x = 4.

Passo 3

Agora, vamos decidir a ordem de integração. É mais fácil integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Para isso, precisamos expressar x em termos de y. Da equação y = raizx, temos x = y^2. Assim, para um dado y, x varia de 0 até y^2.

Passo 4

Determinado isso, o próximo passo é definir os limites para y. Sabemos que y varia de 0 (no eixo x) até 2, que é onde a linha horizontal y=2 está localizada. Então, y varia de 0 a 2.

Passo 5

Com os limites estabelecidos, podemos escrever a integral dupla como uma iterada:
integraly=0^2 integralx=0^y^2 1y^3+1 dx , dy
Note que 1y^3+1 é uma função que depende apenas de y, então ao integrar com respeito a x, ela pode ser tratada como constante.

Passo 6

Integrando a parte interna em relação a x, temos:
integralx=0^y^2 1y^3+1 dx = 1y^3+1 integral0^y^2 dx = y^2y^3+1
Agora, a integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a y:
integral0^2 y^2y^3+1 dy

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = y^3 + 1, então du = 3y^2 dy, ou seja, y^2 dy = du3. Substituindo na integral:
integral y^2y^3+1 dy = 13 integral 1u du = 13 ln|u| + C = 13 ln(y^3+1) + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de y de 0 a 2:
13 [ ln(2^3+1) - ln(0^3+1) ] = 13 [ ln(9) - ln(1) ]
Como ln(1) = 0, fica:
13 ln(9) = 13 cdot 2ln(3) = 23 ln(3)

Resposta

O valor da integral é 23 ln(3).

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