Calcule
, onde B é a região limitada por
e
. ( calor
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada pelas curvas
,
e
. Isso está relacionado a cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para as variáveis
e
com base nas curvas que delimitam a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico das curvas que definem a região
para visualizar melhor os limites de integração. A curva
é uma parábola aberta para a direita,
é uma linha horizontal, e
é o eixo
. O ponto de interseção entre
e
ocorre quando
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos decidir a ordem de integração. É mais fácil integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
. Da equação
, temos
. Assim, para um dado
,
varia de
até
.
Passo 4
Determinado isso, o próximo passo é definir os limites para
. Sabemos que
varia de
(no eixo
) até
, que é onde a linha horizontal
está localizada. Então,
varia de
a
.
Passo 5
Com os limites estabelecidos, podemos escrever a integral dupla como uma iterada:
Note que
é uma função que depende apenas de
, então ao integrar com respeito a
, ela pode ser tratada como constante.
Passo 6
Integrando a parte interna em relação a
, temos:
Agora, a integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a
:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de
de
a
:
Como
, fica:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Analisar a continuidade de
em
. Se
e
Representar o domínio das seguintes funções graficamente e encontrar as curvas de nivel
:
Determinc a área da parte da esfera
que cstá acima do plano
. (valor : 2.0 )
Calcule o volume do sólido
(valor : 1,5 )