Calcule , onde B é a região limitada por e . ( calor )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é limitada pelas curvas , e . Isso está relacionado a cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões planas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para as variáveis e com base nas curvas que delimitam a região .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico das curvas que definem a região para visualizar melhor os limites de integração. A curva é uma parábola aberta para a direita, é uma linha horizontal, e é o eixo . O ponto de interseção entre e ocorre quando , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos decidir a ordem de integração. É mais fácil integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos expressar em termos de . Da equação , temos . Assim, para um dado , varia de até .

Passo 4

Determinado isso, o próximo passo é definir os limites para . Sabemos que varia de (no eixo ) até , que é onde a linha horizontal está localizada. Então, varia de a .

Passo 5

Com os limites estabelecidos, podemos escrever a integral dupla como uma iterada:
Note que é uma função que depende apenas de , então ao integrar com respeito a , ela pode ser tratada como constante.

Passo 6

Integrando a parte interna em relação a , temos:
Agora, a integral dupla se reduz a uma integral simples em relação a :

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de de a :
Como , fica:

Resposta

O valor da integral é .

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e
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