Determinc a área da parte da esfera que cstá acima do plano . (valor : 2.0 )

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área da parte da esfera que está acima do plano . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com esferas e planos. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de sela esférica e utilizar a fórmula para calcular a área de uma sela esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que representa a esfera e o plano. A equação da esfera tem raio e está centrada na origem. O plano corta a esfera em um círculo paralelo ao plano .

Passo 3

Para encontrar a área da parte da esfera acima do plano, precisamos calcular a área de uma sela esférica (também conhecida como “gorro” da esfera). A fórmula para a área de uma sela esférica é:
onde é o raio da esfera e é a altura da sela.

Passo 4

A altura da sela esférica é a distância entre o plano e o topo da esfera. Como o raio da esfera é 2, o topo da esfera está no ponto . Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da área:
Simplificando:

Passo 6

Se quisermos uma aproximação numérica, podemos calcular:
Então, a área aproximada é de aproximadamente 3,48 unidades de área.

Resposta

A área da parte da esfera acima do plano é unidades de área, aproximadamente 3,48.

Exercícios relacionados

Calcule , onde B é a região limitada por e . ( calor )
Analisar a continuidade de em . Se
e
Calcule o volume do sólido (valor : 1,5 )
Determine os pontos de continuidade das seguintes funções.