Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
Passo 1
Entendendo o problema e o que vamos precisar:
Temos que analisar o limite da função quando o ponto
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, vamos avaliar a função ao longo de diferentes caminhos que se dirigem ao ponto
. Se encontrarmos caminhos que resultam em valores de limite diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Temos que analisar o limite da função
Passo 2
Primeiro caminho: vamos pelo eixo y (onde x = 0):
Vamos escolher o caminho onde . Isso significa que estamos nos movendo diretamente pelo eixo y até chegar em
.
Vamos escolher o caminho onde
Substituindo
na função:
Então, o limite ao longo do eixo y é 0.
Passo 3
Segundo caminho: seguindo a curva y = x⁸:
Agora, vamos escolher um caminho diferente, onde . Assim, à medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0 seguindo essa relação.
Agora, vamos escolher um caminho diferente, onde
Substituindo
na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não está definida. Isso indica que o comportamento da função ao longo desse caminho não é bem determinado (poderia tender para mais infinito, menos infinito ou não ter limite).
Passo 4
Comparando os resultados dos diferentes caminhos:
- Ao seguir o eixo y (
), o limite é 0. - Ao seguir a curva
, o limite não está definido.
Como obtemos resultados diferentes (um valor definido e uma indeterminação) ao seguir caminhos distintos até o ponto
, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois valores distintos são obtidos seguindo diferentes caminhos para o ponto
.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Discuta a continuidade das seguintes funções:
Analisar a continuidade da função