Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,0) x yy-x^8.

Passo 1

Entendendo o problema e o que vamos precisar:
Temos que analisar o limite da função x yy - x^8 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis. Para mostrar que esse limite não existe, vamos avaliar a função ao longo de diferentes caminhos que se dirigem ao ponto (0,0). Se encontrarmos caminhos que resultam em valores de limite diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro caminho: vamos pelo eixo y (onde x = 0):
Vamos escolher o caminho onde x = 0. Isso significa que estamos nos movendo diretamente pelo eixo y até chegar em (0,0).
Substituindo x = 0 na função:
0 cdot yy - 0^8 = 0y = 0
Então, o limite ao longo do eixo y é 0.

Passo 3

Segundo caminho: seguindo a curva y = x⁸:
Agora, vamos escolher um caminho diferente, onde y = x^8. Assim, à medida que x se aproxima de 0, y também se aproxima de 0 seguindo essa relação.
Substituindo y = x^8 na função:
x cdot x^8x^8 - x^8 = x^90
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não está definida. Isso indica que o comportamento da função ao longo desse caminho não é bem determinado (poderia tender para mais infinito, menos infinito ou não ter limite).

Passo 4

Comparando os resultados dos diferentes caminhos:
  • Ao seguir o eixo y ( x = 0), o limite é 0.
  • Ao seguir a curva y = x^8, o limite não está definido.
Como obtemos resultados diferentes (um valor definido e uma indeterminação) ao seguir caminhos distintos até o ponto (0,0), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x yy-x^8 não existe, pois valores distintos são obtidos seguindo diferentes caminhos para o ponto (0,0).

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f(x, y) = { raiz(1 - x^2 - y^2) se x^2 + y^2 <= 1; 0 se x^2 + y^2 > 1 }