Ao se analisar uma função por meio de suas derivas pode-se deduzir muitas informações acerca do comportamento desta função. A respeito de uma função analise as asserções a seguir:
I. A derivada da função é dada por , e se , a função é dita como decrescente dentro de seu intervalo. PORQUE
II. A concavidade da função será voltada para cima se sua segunda derivada respeitar a condição: . Analisando as asserções realizadas acima, assinale a opção que representa a correta razão entre elas. A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma justificativa da asserção I. A asserção I está correta e a asserção II está incorreta. Ambas as asserções estão incorretas. A asserção I está correta e a asserção II é uma justificativa da asserção I. A asserção I está incorreta e a asserção II está correta.

Passo 1

Então, pessoal, vamos resolver esse exercício sobre análise de funções usando derivadas. A questão nos apresenta duas afirmações sobre uma função $ y = f(x) $ e suas derivadas. Precisamos verificar se cada afirmação está correta e entender como elas se relacionam. Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de derivada primeira e segunda, além de entender como elas indicam o comportamento crescente/decrescente e a concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a Asserção I:
“A derivada da função $ y = f(x) $ é dada por $ \frac{d y}{d x} $, e se $ \frac{d y}{d x} < 0 $, a função $ y = f(x) $ é dita como decrescente dentro de seu intervalo.”
Explicação:
A derivada primeira $ \frac{d y}{d x} $ nos informa a taxa de variação da função. Se essa derivada for negativa ($ \frac{d y}{d x} < 0 $), isso significa que, conforme $ x $ aumenta, $ y $ diminui. Ou seja, a função está decrescente no intervalo considerado.
Então, a Asserção I está correta.

Passo 3

Agora, vamos para a Asserção II:
“A concavidade da função $ y = f(x) $ será voltada para cima se sua segunda derivada respeitar a condição: $ \frac{d^2 y}{d x^2} > 0 $.”
Explicação:
A segunda derivada $ \frac{d^2 y}{d x^2} $ nos informa sobre a concavidade da função. Se $ \frac{d^2 y}{d x^2} > 0 $, a concavidade está voltada para cima, ou seja, a função tem um “sorriso”. Se for menor que zero, a concavidade está para baixo.
Portanto, a Asserção II também está correta.

Passo 4

Agora, precisamos ver como essas duas asserções se relacionam. A Asserção I fala sobre a função ser decrescente quando a primeira derivada é negativa. Já a Asserção II trata da concavidade da função, que é uma característica diferente do comportamento crescente ou decrescente.
Ou seja, apesar de ambas as asserções estarem corretas, a segunda não justifica a primeira, porque tratar de concavidade não explica diretamente o comportamento de aumento ou diminuição da função.

Resposta

A asserção I está correta e a asserção II está correta, mas não é uma justificativa da asserção I.

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