Uma urna contém 3 bolas azuis e 2 verdes. De quantas maneiras podemos retirar as 5 bolas, uma por vez e sem reposição?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 3 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 5 bolas. A questão pede para saber de quantas maneiras podemos retirar todas as 5 bolas, uma por vez, sem colocar nenhuma de volta na urna. Vamos resolver isso usando conceitos de combinatória, especificamente permutação com elementos repetidos, já que temos bolas de cores repetidas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando temos elementos repetidos, como as bolas azuis e verdes aqui, o número total de arranjos muda porque algumas sequências são iguais em termos de cor. Por exemplo, trocar duas bolas azuis não cria uma sequência diferente se elas são indistinguíveis.
Passo 3
O próximo passo é lembrar que, se todas as bolas fossem distintas, o número de maneiras de arranjá-las seria
(5 fatorial), que é
.
Passo 4
Mas, como temos elementos repetidos, precisamos ajustar esse cálculo. A fórmula para permutação com elementos repetidos é:
Onde:
-
é o total de elementos, -
são as quantidades de cada tipo de elemento repetido.
Passo 5
No nosso caso:
-
(total de bolas), -
(bolas azuis), -
(bolas verdes).
Então, aplicando a fórmula:
Resposta
Existem 10 maneiras de retirar as 5 bolas, uma por vez e sem reposição.