Uma urna contém 3 bolas azuis e 2 verdes. De quantas maneiras podemos retirar as 5 bolas, uma por vez e sem reposição?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 3 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 5 bolas. A questão pede para saber de quantas maneiras podemos retirar todas as 5 bolas, uma por vez, sem colocar nenhuma de volta na urna. Vamos resolver isso usando conceitos de combinatória, especificamente permutação com elementos repetidos, já que temos bolas de cores repetidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando temos elementos repetidos, como as bolas azuis e verdes aqui, o número total de arranjos muda porque algumas sequências são iguais em termos de cor. Por exemplo, trocar duas bolas azuis não cria uma sequência diferente se elas são indistinguíveis.

Passo 3

O próximo passo é lembrar que, se todas as bolas fossem distintas, o número de maneiras de arranjá-las seria 5! (5 fatorial), que é 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120.

Passo 4

Mas, como temos elementos repetidos, precisamos ajustar esse cálculo. A fórmula para permutação com elementos repetidos é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Onde:
  • n é o total de elementos,
  • n1, n2, dots, nk são as quantidades de cada tipo de elemento repetido.

Passo 5

No nosso caso:
  • n = 5 (total de bolas),
  • n1 = 3 (bolas azuis),
  • n2 = 2 (bolas verdes).
Então, aplicando a fórmula:
5!3! times 2! = 1206 times 2 = 12012 = 10

Resposta

Existem 10 maneiras de retirar as 5 bolas, uma por vez e sem reposição.

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