Considere a superfície cuja representação seja dada conforme a seguinte equação: z = x² + y². Diante dessa superfície, determine a equação do plano tangente a ela, considerando como referência o ponto A(1,1,2). Agora, assinale a alternativa que indica corretamente a equação do plano tangente solicitado: Alternativas:
a) 2x + 2y = z
b) 2x + 2y - z - 2 = 0
c) 2x - 2y + z + 6 = 0
d) x - 2y - 2z + 4 = 0
e) -2x - 2y + z + 4 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície definida por $ z = x^2 + y^2 $ no ponto $ A(1, 1, 2) $. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e ao conceito de planos tangentes em cálculo multivariável. Vamos usar as derivadas parciais para encontrar a inclinação do plano nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto $ A(1, 1, 2) $ está realmente na superfície. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na equação $ z = x^2 + y^2 $:
A(1, 1, 2)
Então, o ponto está na superfície, beleza!

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso nos dá as inclinações do plano em cada direção:
z
x

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto $ A(1, 1, 2) $:
A(1, 1, 2)
partial zpartial x|(1,1) = 2 times 1 = 2

Passo 5

Com as derivadas parciais, a equação do plano tangente pode ser escrita como:
z = z0 + partial zpartial x(x0)(x - x0) + partial zpartial y(y0)(y - y0)
Substituindo $ z_0 = 2 $, $ x_0 = 1 $, $ y_0 = 1 $, e as derivadas calculadas:
z0 = 2

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
z = 2 + 2x - 2 + 2y - 2
z = 2x + 2y - 2
Rearranjando para igualar a zero:
2x + 2y - z - 2 = 0

Resposta

A alternativa correta é a b) $ 2x + 2y - z - 2 = 0 $.

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