Analise se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira.
A matriz A=[ll 0 & 1 0 & 1 ] é diagonalizável éá

Passo 1

Estamos vendo se a matriz 0 & 1 0 & 1 é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:

Passo 3

Calculando a equação característica:
A - lambda I = 0 - lambda & 1 0 & 1 - lambda = -lambda & 1 0 & 1 - lambda
det(A - lambda I) = (-lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 1 = -lambda(1 - lambda) = lambda(lambda - 1)
lambda(lambda - 1) = 0 implies lambda = 0 ou lambda = 1
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Como a matriz tem dois autovalores distintos, isso geralmente indica que a matriz é diagonalizável. Mas vamos confirmar verificando os autovetores.

Passo 5

Para A - 0I = A = 0 & 1 0 & 1 :
0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 implies v2 = 0
Resolvendo 1 0 :
A - I = -1 & 1 0 & 0
Então, o autovetor associado a -1 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 implies v1 = v2 é qualquer vetor da forma 1 1 .
Para :
Resolvendo :
Então, o autovetor associado a é qualquer vetor da forma .

Resposta

Verdadeira. A matriz é diagonalizável.

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