Seja v=(2,3) in R^2 e considere as bases
B=(1,0),(0,1) e B^prime=(0,1),(2,3)
(b) Determine as matrizes de mudança de base MB^prime^B e MB^B^prime.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa determinar as matrizes de mudança de base e entre as bases e . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e como montar as matrizes que fazem essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas matrizes de mudança de base. A matriz serve para converter coordenadas de um vetor na base para coordenadas na base . Já faz o caminho inverso, ou seja, converte de para .

Passo 3

Começando com . Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
A base é , que é a base padrão. A base é .
Então, os vetores de já estão expressos em coordenadas da base :
  • é
  • é

Passo 4

Montamos a matriz MB'^B = 0 & 2 1 & 3 colocando os vetores de como colunas, já em coordenadas de :

Passo 5

Agora, para encontrar det = (0)(3) - (2)(1) = -2 , que é a matriz inversa de , precisamos calcular a inversa dessa matriz.
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 6

A fórmula para a matriz inversa 2x2 é:
M^-1 = 1det d & -b -c & a
Aplicando isso a MB^B' = 1-2 3 & -2 -1 & 0 = -1.5 & 1 0.5 & 0 :

[
M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}’} = \frac{1}{-2}


]

Resposta

As matrizes de mudan��a de base são:
MB'^B = 0 & 2 1 & 3 e MB^B' = -1.5 & 1 0.5 & 0

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