Seja
e considere as bases
(b) Determine as matrizes de mudança de base
e
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa determinar as matrizes de mudança de base
e
entre as bases
e
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como expressar os vetores de uma base na outra e como montar as matrizes que fazem essa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas matrizes de mudança de base. A matriz
serve para converter coordenadas de um vetor na base
para coordenadas na base
. Já
faz o caminho inverso, ou seja, converte de
para
.
Passo 3
Começando com
. Para construir essa matriz, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
.
A base
é
, que é a base padrão. A base
é
.
Então, os vetores de
já estão expressos em coordenadas da base
:
-
é -
é
Passo 4
Montamos a matriz
colocando os vetores de
como colunas, já em coordenadas de
:
Passo 5
Agora, para encontrar
, que é a matriz inversa de
, precisamos calcular a inversa dessa matriz.
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 6
A fórmula para a matriz inversa 2x2 é:
Aplicando isso a
:
[
M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}’} = \frac{1}{-2}
]
Resposta
As matrizes de mudan��a de base são: